复变函数第二章：解析函数与柯西-黎曼方程详解

复变函数是数学分析中的一个重要分支，主要研究复数域上的函数性质和行为。在武汉大学数学与统计学院的2019-2020学年第二学期数学弘毅班、基地班的教学参考资料中，第二章"复变函数（上）"深入探讨了这一主题。 本章的核心内容包括： 1. 复变函数的定义：复变函数是与实变函数类似的定义，它规定对于复数集G中的每个复数z = x + iy，都存在一个或多个对应的复数w = u + iv，使得w=f(z)，这样的函数被称为复变函数。如果这个对应关系是单值的，那么f(z)就是单值函数；若对应多个值，则称f(z)为多值函数。 2. 求导数与解析函数：学生需要掌握如何对复变函数求导数，这在实际问题中有着广泛的应用。此外，解析函数的判断是本章的重点，通过柯西-黎曼方程来检验函数是否满足解析性，这对于理解和利用复变函数的性质至关重要。 3. 教材与参考书：教材推荐使用余家荣编著的《复变函数》，以及谭小江、伍怀、刘胜键编写的《复变函数简明教程》和太顺编著的《复变函数》。这些书籍为学习者提供了扎实的基础理论和实践指导。 4. 视频资源：教学资料还包含了刘太顺的公开网课《复变函数》和北京师范大学国家级精品课程的复变函数教程视频，便于学生通过不同的途径加深理解。 5. 例题解析：章节中提供了两个示例，如例1展示了如何通过复变函数定义计算复数表达式的值，例2则演示了如何通过柯西-黎曼方程验证函数的解析性。 复变函数的学习不仅涉及函数的定义和性质，还包括如何应用它们解决实际问题，例如在信号处理、量子力学、电路分析等领域。通过深入理解复变函数，学生可以拓宽数学视野，提升分析复杂系统的能力。因此，掌握复变函数是数学专业和相关领域学习者的重要技能之一。