线段树实现动态增改与区间和查询

线段树是一种高效的数据结构，用于处理动态范围求和问题，特别是在需要对数组进行频繁增删操作并快速查询区间和的情况下。在给定的问题中，我们需要设计一个数据结构来支持两种操作： 1. Add(L,R,v): 这个操作涉及到将数组中从位置L到R（包括L和R）的所有元素的值增加一个常数v。在线段树中，这可以通过递归地更新每个受影响的区间来实现。从根节点开始，根据区间的划分规则，分别向左子树和右子树传递L和R，直到达到叶子节点，然后更新该节点的和加上v。 2. Query(L,R): 这个操作是求解数组中从位置L到R（同样包括L和R）所有元素的和。在查询过程中，线段树会从根节点出发，通过路径压缩技术（如果使用的是链表存储或堆结构），快速找到包含L和R的子树范围，然后沿着这个路径累加每个节点的sum值，最终返回总和。 线段树的结构: 线段树是由一系列结点组成，每个结点维护原数列中一个连续区间的信息。结点分为内部结点和叶结点，内部结点有两个子结点，分别代表区间的左右部分，而叶结点代表原始数组中的单个元素。根节点的区间是整个输入数组，而其他内部结点的区间大小通常为原区间的一半，以此类推，形成一个满二叉树结构。 性能分析: - 节点数：线段树的节点总数最多是输入数组长度n的两倍，因为每个结点代表一个区间，而根节点代表整个数组。 - 深度：由于线段树类似于满二叉树，其深度不会超过log(2n)，这意味着查询和更新操作的时间复杂度可以达到O(log n)。 - 分解效率：线段树将区间划分为更小的部分，使得大部分查询能在O(log n)时间内完成，因为查询时只需遍历log n个结点。 线段树的存储方式: 线段树的存储有三种常见方法： - 链表存储：每个结点包含左右子节点的指针，适用于插入和删除操作相对频繁的情况。 - 数组模拟链表：通过数组索引关联结点，节省空间，但查询可能需要额外的计算来找到节点。 - 堆结构存储：利用堆（如最小堆或最大堆）的特性，使得查找最小或最大元素的查询操作更快，但不适合直接进行区间求和。 核心函数: - creat(p:point; l, r: integer): 用于创建线段树的函数，递归地分配子节点，并初始化它们的属性。 - query(p:point; l, r: integer): longint: 查询函数，根据区间范围在树中进行路径遍历，累加节点的sum值。 线段树作为一种强大的数据结构，通过其高效的区间操作，使得在动态更新和快速查询的场景下，能够保持良好的性能。理解线段树的构造、性质以及如何实现这些操作是解决此类问题的关键。