数字信号处理:门爱东课后习题详解与证明

需积分: 9 7 下载量 74 浏览量 更新于2024-07-22 收藏 1.09MB PDF 举报
本资源提供了北邮《数字信号处理》课程由门爱东教授编著的课后习题答案,主要涵盖第一章的内容,包括信号的时域和频域变换、线性系统与滤波器、以及周期信号的傅里叶级数等知识点。以下是部分内容的详细解析: 1. **时域分析**: - **问题1.1**:题目要求画出函数f(t) = rect(t+2) + rect(t-2) 和其相关函数的图形。`rect(t)` 是矩形脉冲函数,该题涉及两个矩形脉冲中心移动的情况。第一问是原函数f(t),它在-2到2时间段内为1,其余为0;第二问g(t) = f(t-1) 表示将f(t)向左平移一个单位;第三问h(t) = f(t)u(t) 是f(t)与单位阶跃函数u(t)的乘积,h(t)只在t>=0时等于f(t);第四问f(t/2) 表示f(t)的频率加倍。 2. **频域证明**: - **1.2** 该部分包含三个关于卷积和频移的性质证明。第(1)小题证明了卷积与Dirac delta函数的关系,表明f(t)与a·δ(t-t0)的卷积结果是f(t-a*t0);第(2)小题则证明了加权平均的效果,即f(at)关于δ(at)的卷积结果;第(3)小题是关于周期信号傅里叶级数的性质,指出周期信号的离散傅里叶级数是连续信号在每个周期内的采样值之和。 3. **复数指数与傅里叶变换**: - **1.3** 最后一个问题涉及复数指数函数与傅里叶变换的关系。给定f(t)与其傅里叶变换F(Ω),题目要求证明当对y(t) = e^(jwt)进行傅里叶变换时,结果为Y(Ω) = F(Ω-jω)。这是基本的复数运算在信号处理中的应用,表明时域中的复指数函数在频域中对应于旋转的频谱。 通过这些习题解答,学习者可以深入理解数字信号处理的基本概念和技巧,例如时域和频域表示的转换,滤波器设计,以及数学工具在信号分析中的运用。解答内容涵盖了基础理论证明和实际问题求解,有助于巩固和提升学生对数字信号处理的理解和实践能力。