数字信号处理习题解析：门爱东教材答案

"这是一份关于门爱东教授的数字信号处理课程的课后习题解答，包含了2005年的部分习题解析。提供的内容包括了不同习题的详细解答，涉及到了信号的图形绘制、函数变换以及傅里叶表示等相关知识。" 在数字信号处理领域，该资料详细解答了第一章的几个关键问题，让我们逐一解析： 1.1 题目要求对给定函数f(t)=rect(t+2)+rect(t-2)进行图形绘制及变换。其中，rect(t)是矩形窗函数，它在-1到1之间取值为1，其余为0。因此，f(t)是两个矩形函数的叠加，分别向左和向右移动了2个单位。通过对各变换的图形分析，我们可以更好地理解信号的时间平移和尺度变化。 (1) f(t)的图形是在t=-1到3和t=1到5之间为1，其余为0。 (2) g(t)=f(t-1)将f(t)向右平移1个单位，所以g(t)的非零区间为t=1到5和t=-1到3。 (3) h(t)=f(t)u(t)乘以单位阶跃函数u(t)，意味着只有当t>0时，函数才非零，所以h(t)的非零区间为t=1到5。 (4) f(t/2)表示时间压缩，函数的宽度减半，所以非零区间变为t=-2到4和t=-1到2。 1.2 题目涉及到了狄拉克 delta 函数的性质。这些性质在信号处理中至关重要，因为 delta 函数常被用作频谱分析的基础。 (1) 展示了常数乘以 delta 函数的性质，证明了 af(t)*δ(t-a) = f(a)δ(t-a)，这意味着 delta 函数可以提取信号在特定时刻的值。 (2) 证明了 delta 函数的积分性质，即 ∫f(t)δ(t-a)dt = f(a)，表明 delta 函数在积分中的作用是将积分区域内的函数值“抽”出来。 (3) 展示了周期 delta 函数的级数表示，即 ∑[f(nT)]δ(t-nT) = f Comb(t)，这个表达式描述了离散时间信号的傅里叶级数表示，其中 f Comb(t) 表示 f(t) 的周期性采样。 1.3 题目涉及到傅里叶变换，它在信号分析中扮演着核心角色。这里证明了 e^jwt 的傅里叶逆变换为 F^-1{e^(jwt)} = rect(t)，这个关系对于理解傅里叶变换与频率域的关系至关重要。 这份资料提供了深入理解和应用数字信号处理基本概念的机会，包括信号的图形表示、函数变换、delta 函数的性质以及傅里叶变换的运用。这对于学习者巩固基础、解决实际问题有着极大的帮助。通过解决这些习题，学生可以更好地掌握如何分析和处理数字信号，为后续更复杂的信号处理理论和应用打下坚实基础。