状态压缩动态规划解决广场铺砖问题

本资源是一份关于状态压缩类型动态规划的详细教程，由长沙市雅礼中学朱全民老师编写的PDF文档。主题围绕着如何解决一个实际问题——广场铺砖问题。问题设定在一个W行H列的广场上，需用1*2的小砖铺盖，且小砖之间不允许重叠。目标是计算有多少种不同的铺法，限制条件是1<=W, H<=11。 首先，作者提出通过搜索方法来解决此问题，但因为问题规模不大，采用深度优先搜索（DFS）会导致时间复杂度过高，而宽度优先搜索（BFS）虽然避免了回溯，但由于铺砖的限制，树形结构扩展过快，空间和时间成本同样不可接受。这就需要引入更高效的方法。 进一步分析的关键在于三个性质：当w和h都是奇数时，无解；铺砖只影响上下两行；以及按行铺砖时，每行的铺法独立。这些性质有助于将问题简化为状态压缩的形式。每个状态用一个w位的二进制数表示，1代表铺有砖，0代表未铺。例如，对于6x9的广场，初始状态可能是100100，表示第一行铺了两块砖。 动态规划的引入至关重要，通过定义f(i, s)表示铺到第i行且状态为s的方案数。初始值设置为f(1, 0)=1，表示第一行有唯一的一种铺法。最终答案在f[h+1, 0]中，即最后一行所有可能状态的总数。时间复杂度为O(h*2W)，因为对每一行有2w种状态可能，总共遍历h行。 在这个过程中，涉及到的基本位操作包括状态的转移，即根据当前状态和可选的铺砖操作，判断能否从一个二进制状态转变为另一个状态。这种状态转换的分析是动态规划的核心，通过递推公式推导出各个状态之间的关系，从而有效地解决了铺砖问题。 总结来说，这份文档详细讲解了如何运用状态压缩和动态规划策略，解决了一个实际的广场铺砖问题，通过优化算法减少了空间和时间复杂度，使得问题得以高效解决。这对于理解和应用动态规划在解决组合优化问题中具有重要意义。