2019 ICPC亚洲上海站在线比赛题解：数据结构与算法应用

在2019年的ICPC亚洲上海区域赛的在线竞赛中，参赛者们面对了一系列具有挑战性的算法题目。本文将解析其中的三个题目，包括A-LightningRoutingI、B-Lightbulbs和C-Triple。 A-LightningRoutingI: 这道题目涉及在一个给定的边权树上实现动态边权更新并查询两点之间的最远距离。解决策略基于树的直径计算，利用了树的性质来确定最远点。首先，通过深度优先搜索(DFS)求得树的直径，即两点间最长路径。接着，问题转化为动态维护直径，这可以使用点分治方法（如点分树）完成，通过维护过分治中心子树的最长链，借助集合（set）存储最长和次长路径。对于每个子树，可以使用DFS序与线段树结合，实现O(nlog2n)或O(nlogn)的效率。雅礼中学的解决方案采用了更为巧妙的基于全DFS序的优化。然而，也可以选择使用子集动态树简化问题，使得均摊复杂度降为O(nlogn)。 B-Lightbulbs: 题目是关于开关灯泡的问题，初始所有灯泡关闭，进行M次操作，每次操作影响一个区间内的灯泡状态。这是一个典型的动态范围查询问题，可以先对操作区间排序，然后计算前缀和得到每个时间步灯泡的状态变化，最终统计最后打开的灯泡数量，其时间复杂度可达到O(MlogM)。 C-Triple: 这是一道组合优化题目，要求从三个数组中选择三个数，满足任意两个数之差的绝对值不大于第三个数。当N小于等于1000时，可以直接使用暴力搜索O(N^2)解法。对于更大的N，可以利用快速傅立叶变换(FFT)来加速，通过枚举最大数，再对其他两个数进行组合，并去重，这种方法适用于N>1000的场景。提供了一些参考程序链接，帮助理解算法。 D-CountingSequencesI: 题目描述未给出，但从题目的命名“Counting Sequences I”推测，这可能与序列计数有关，可能涉及到模式匹配、字符串处理或者动态规划等技巧，要求统计某种特定类型的序列的数量。由于没有具体内容，这部分的解释只能根据常见的序列计数问题进行分析，实际解法可能需要根据题目细节来设计。 这些题目展示了竞赛中常见的数据结构（如点分治、线段树、区间更新、FFT等）以及不同难度级别的算法策略，参赛者需要灵活运用这些技术来解决问题。理解和掌握这些方法对于提升算法竞赛能力至关重要。