信号与系统：时域经典法解微分方程流程

"该资源是郑君里教授的‘信号与系统引论’课程中的第2章‘连续时间系统的时域分析’，重点讲解了时域经典法求解微分方程的流程，包括其优缺点。课程内容涵盖时域分析方法、系统数学模型的建立以及如何利用经典法和卷积积分法解题。" 在信号与系统的研究中，时域分析是一种基础且重要的方法。时域经典法是直接通过对微分方程进行求解来分析系统动态行为的方法，它强调物理概念的清晰性和直观性，这对于理解和学习后续的变换域方法十分有益。然而，这种方法的缺点在于求解过程相对复杂，需要较多的计算步骤。 在连续时间系统的时域分析中，通常涉及到两种描述系统的方式：输入输出描述法和状态变量描述法。输入输出描述法通过一元n阶微分方程来表示系统，而状态变量描述法则使用n元一阶微分方程组。在本课程中，主要探讨的是输入输出描述法。 系统分析的过程通常包括以下步骤： 1. **建立系统数学模型**：基于元件特性和网络拓扑约束列出系统的微分方程。例如，在电路系统中，根据欧姆定律、基尔霍夫电压定律（KVL）和电流定律（KCL）来建立微分方程。 2. **列写方程**：根据元件特性，如电阻、电感、电容的伏安关系，以及网络结构的电压电流约束，化简得到系统的微分方程。 3. **求解微分方程**：对所列出的微分方程进行求解，这是时域经典法的核心。对于线性时不变系统，可以使用齐次解和非齐次解的组合，即分离变量法或积分因子法等。 4. **零状态响应与零输入响应**：在某些情况下，可以通过分析系统的零状态响应（ZSR）和零输入响应（ZIR）来获取总响应。 5. **卷积积分法**：当涉及到任意激励下的零状态响应时，卷积积分法成为一种强大的工具，它可以将问题转化为已知的冲激响应与激励信号的卷积。 例如，对于一个RCL并联电路，可以通过KCL和KVL列出微分方程，然后解这个二阶微分方程来获得端电压v(t)与激励is(t)之间的关系。在实际求解过程中，可能会遇到阶跃函数、冲激函数等典型输入，这些都需要通过卷积积分来处理。 时域经典法虽然计算过程较为繁琐，但它提供了深入理解系统动态行为的直接途径，尤其适合初学者理解和掌握系统理论。随着学习的深入，学生将学会如何巧妙地运用这种方法来解决复杂的工程问题。