连续时间系统分析：时域经典法与微分方程

"齐次解为-信号与系统引论-课件-郑君里-第2章-连续时间系统的时域分析" 本文主要探讨的是《信号与系统引论》这门课程中的连续时间系统的时域分析。时域分析是研究系统响应的一种基本方法，它直接处理系统的微分和积分方程，无需进行任何变换，因此直观且物理意义清晰，是学习其他变换域分析方法的基础。 在第二章中，作者郑君里详细讲解了如何进行连续时间系统的时域分析。首先，引言部分提到了时域分析的基本步骤，包括建立系统数学模型（通常是一元n阶微分方程或n元一阶微分方程组）、利用输入输出描述法或状态变量描述法来描述系统，并通过经典法或卷积积分法求解系统响应。其中，经典法是基于电路分析的基础，而卷积积分法则是一种更为通用的方法，尤其适用于求解零状态响应，即通过冲激响应来求解任意激励下的系统响应。 系统数学模型的建立主要依据元件特性约束和网络拓扑约束。元件特性约束是指元件如电阻、电容、电感等的伏安关系，而网络拓扑约束则由电路结构决定，如基尔霍夫电流定律（KCL）和基尔霍夫电压定律（KVL）。举例来说，RCL并联电路的微分方程就是根据这些约束条件推导出来的。 在2.3节中，时域经典法用于求解微分方程，这是处理线性时不变系统（LTI系统）的一种常用方法。这类系统中，激励信号e(t)和响应信号r(t)之间的关系可以通过一个n阶线性微分方程来描述。在具体求解过程中，通常分为两步：首先找到齐次解，然后求出特解。齐次解是当输入信号为零时，系统固有的自由响应；特解则是针对特定形式的输入信号，如本例中的6sin(2t)，通过匹配特解形式并代入微分方程来确定系数。 在处理非齐次微分方程时，齐次解和特解的组合构成了系统的完全解。通过这种方式，可以得到系统对任意输入信号的精确响应。这种分析方法对于理解和设计电子系统、通信系统以及其他物理系统具有重要意义，因为它提供了计算系统动态行为的直接途径。