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《数论中未解决的问题》B24 的研究简报(II)
—— 无一能是另外两个数的倍数的集合的构造与计数
王积社
韩山师范学院数学与信息技术系,广东 潮州(521041)
E-mail:wangfeng.yz@163.om
摘 要:《数论中未解决的问题》一书中的问题 B24 是匈牙利著名数学家 Paul Erdös 提出的
一个组合数论问题,首先其核心是关于
[1 , ]n
的“无一能整除另外两个数”的最大子集的构造
与计数问题,或者说是研究在给定范围内的两两互素的整数序列问题,由于两两互素与素数
分布关系密切,所以可认为 B24 的本质是讨论给定范围内的素数分布问题.其次 B24 还提出
了上述问题的对偶问题,即关于
[1 , ]n
的“无一能是另外两个数的倍数”的最大子集的构造与
计数问题.关于 B24 问题的研究,尚未见到新的进展.笔者对 B24 进行了研究,其中关于“无
一能是另外两个数的倍数”的子集的研究:首先得到了
[1 , ]n
的无一能是另外两个数的倍数的
子集的构造方法,然后给出了所构造子集的基数的计算公式,并且如果用
()
n 表示无一能
是另外两个数的倍数的最大子集的大小,则得到结果“当
n 充分大时 ( ) 0.7166
nn> ”,同时 大
量的实验结果也导致猜想——所构造的子集是最大的.
关键词: 数论问题;B24;无一能是两数倍数;构造算法;基数计数
中图分类号:O15
1.问题B24
加拿大数论专家 R.K.Guy 教授所著《数论中未解决的问题》
[1]
中问题B24 是:
“令
()
n 为
[1 , ]n
中无一能整除另外两个数的最大子集的大小,Erdös 问 ()
n 能有多大?取
[1, 32]mm++
易见 ()
n 能取到[2 3]n .
D
. J .Kleitman 取[11,30]并略去 18、24 和 30,这时
我们可以添加 6、8、9 和 10,从而得到
(29) 21f
. 然而,这个例子似乎无法推广. 实际
上,
L
ebensold 证明了,如果 n 很大,那么
0.6725 ( ) 0.6736nfn n
≤
Erdös 还问极限
lim ( )
nn是否是无理数?
对偶地,人们可以寻求最大数量的
n
的数,其中无一能是另外两个数的倍数.Kleitman
的例子也可用作此问题的实例.更一般地,
E
rdös 希望寻求最大的数,使得对
k
≥ 2,其中
无一能被其它任意
k
个数整除.对
k
=1,答案是[2]n ”.
B24 所述是匈牙利著名数学家 Paul Erdös 提出的一个组合数论问题,其中含有两个互
为对偶的问题.
问题①:构造无一能整除另外两个数的最大子集;
问题②:构造无一能是另外两个数的倍数的最大子集.
问题①实际上是讨论给定范围内的两两互素
..........
的整数序列的构造问题,因为给定范围内的两两
互素的整数序列的构造与此区间内互不相同的素数个数密切相关,所以问题①的研究可为讨
论给定区间或范围内的素数分布问题提供理论基础.
关于 B24 的研究还未发现新的进展.
2.主要结果
笔者研究了 B24,其中关于问题②的研究已作了以下工作: