数值计算方法及误差分析：有效数字与算法设计

第一章中引入了有效数字的概念，要求在数值计算方法中，所写出的数都应该是有效数字，并且在同一计算问题中，参加运算的数都应该有相同的有效数字。有效数字是指数值表示的准确程度，它反映了一个数值的可靠性和精确度。有效数字的位数越多，表示的数值越精确。本章还介绍了数值计算方法的定义、任务、主要过程和特点。 数值计算方法是研究科学与工程技术中数学问题的数值解及其理论的一个数学分支。它涉及的领域很广，包括代数、微积分、微分方程数值解等问题。它的主要任务是研究适合在计算机上使用的数值计算方法及其相关的理论，例如方法的收敛性、稳定性和误差分析等。此外，还需要根据计算机的特点研究计算时间最短、需要计算机内存最少等计算方法问题。 数值计算方法的主要过程包括以下几个步骤：首先是实际问题，也就是需要解决的实际科学或工程问题。然后建立数学模型，将实际问题用数学语言来描述。接下来是设计高效、可靠的数值计算方法，这是实现问题求解的关键步骤。然后进行程序设计，将数值计算方法转化为计算机可执行的程序形式。最后进行上机计算，利用计算机来求解问题并得到结果。 数值计算方法与纯数学不同。它既具有数学的抽象性与严格性，又具有应用的广泛性与实际试验的技术性。它是一门与计算机紧密结合的实用性很强的计算数学课程，具有自身独立的研究方法与理论系统。 数值计算方法的特点主要有以下几点：首先，它需要提供能让计算机直接处理的有效算法与程序，包括加减乘除运算和逻辑运算。其次，它的算法应具有完整解题步骤，切实可行。此外，它的描述可以用框图、算法语言、数学语言或自然语言来进行，并且有可靠的理论分析，能够逼近且达到精度要求。对于近似算法，应保证收敛性和数值稳定性，并进行必要的误差分析。最后，还需要注意算法能否在计算机上实现，避免因数值方面的问题导致计算结果错误。 总之，数值计算方法是研究科学与工程技术中数学问题的数值解及其理论的一个数学分支。它涉及的领域广泛，任务多样。在数值计算方法中，引入了有效数字的概念，要求所写出的数都应是有效数字，并且参加运算的数要有相同的有效数字。数值计算方法的主要过程包括实际问题、数学模型、数值计算方法设计、程序设计和上机计算。数值计算方法不同于纯数学，它既具有抽象性和严格性，又具有应用性和技术性。数值计算方法需要提供有效算法与程序，具有完整解题步骤，并进行必要的误差分析。此外，还需要注意算法能否在计算机上实现，避免因数值方面的问题导致计算结果错误。