数值代数课程设计：迭代法与插值多项式求解

"该课程设计主要探讨数值代数中的迭代法，包括Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法在求解线性方程组时的收敛性问题。此外，还涉及利用Lagrange插值多项式进行函数逼近以及用梯形公式计算积分。在迭代法部分，对分块矩阵进行处理，分析了两种迭代法的误差和最大迭代次数的设定。同时，给出了具体的编程实现，如Jacobi迭代法的MATLAB代码示例。" 在数值代数中，迭代法是求解大型线性方程组的有效手段，特别是当直接解法（如高斯消元法）变得不切实际时。本课程设计主要关注两个经典的迭代方法——Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法。 1. Jacobi迭代法：这种方法是基于将系数矩阵A分解为对角部分D、下三角部分L和上三角部分U的形式，即A=D-L-U。迭代公式为X_new = D^(-1)*(b - L*X_old - U*X_old)。在给定的程序中，通过计算迭代矩阵BJ的特征值来判断Jacobi迭代法是否收敛，如果最大特征值的绝对值小于1，则说明迭代法收敛。 2. Gauss-Seidel迭代法：相较于Jacobi法，Gauss-Seidel法在每次迭代中会立即更新所有元素，而不是等到整个迭代步骤完成。这通常导致更快的收敛速度。同样，通过检查迭代矩阵的谱半径来判断其收敛性。 在实际应用中，设置合适的误差阈值（如10^(-6)）和最大迭代次数（如200）是必要的，以防止无限循环且确保计算效率。初始向量通常选择为零向量，但也可以根据问题的具体情况调整。 另外，课程设计还涉及到插值问题。Lagrange插值是一种通过在一组给定的离散点上构造多项式来逼近函数的方法。例如，对于定义在[0, 3]上的函数，选取5个等距节点，可以构建一个Lagrange插值多项式。在[-1,1]上取21个节点，同样可以得到函数的Lagrange插值多项式，并使用梯形公式计算这个多项式的积分。梯形公式是数值积分的一种基础方法，它将区间分成多个小段，每个小段上用梯形近似函数图像，然后将所有梯形面积相加得到积分的近似值。 这些知识点在工程计算、科学模拟和数据分析等领域有着广泛的应用，通过课程设计，学生能够深入理解迭代法的原理，掌握其收敛性分析，以及如何利用数值方法解决实际问题。