运筹学第二版线性规划解题详解

"这是《管理运筹学》第二版的习题答案，主要涵盖了从第二章开始的线性规划的图解法相关习题，共有72页内容。" 运筹学是一门应用数学学科，它利用数学模型和方法来优化决策，特别是在管理和工程领域。线性规划是运筹学中的基础工具，用于求解在一系列线性约束条件下，如何最大化或最小化一个线性目标函数的问题。 在第2章“线性规划的图解法”中，主要探讨了如何通过图形方式来寻找线性规划问题的最优解。以下是习题中涉及的一些关键概念和步骤： 1. 可行域：线性规划问题的解必须满足所有约束条件，这些条件共同定义了一个几何区域，称为可行域。例如，习题中提到的“a.可行域为OABC”，表示存在四个顶点O、A、B和C的区域是可行的解空间。 2. 等值线：等值线是在图形上目标函数值相等的点的集合。在“b.等值线为图中虚线所示。”这部分，虚线表示目标函数的不同值，通过它们可以找出哪些解会使目标函数达到最大或最小值。 3. 最优解：线性规划的目标是找到可行域内的一个点，使得目标函数达到最大值或最小值。在“c.由图可知，最优解为B点，最优解：1 7 12 7 15 2= x x，最优目标函数值：7 69。”这道题中，B点是最优解，目标函数值为769。 4. 不同类型的解： - 唯一解：如“2a”题，线性规划有唯一的解。 - 无可行解：如“2b”题，不存在满足所有约束的解。 - 无界解：某些情况下，解可以无限延伸，没有边界，如“2c”题。 - 无穷多解：当可行域是连续的一条直线或一个平面时，如“2e”题，有无穷多个解。 5. 标准形式转换：线性规划问题通常需要转换成标准形式，即所有变量非负，目标函数要么最大化要么最小化，且所有的约束都是等式或不等式。习题中展示了如何将原问题转换成标准形式，例如“3a、3b、3c”，通过引入松弛变量和人工变量进行转化。 6. 解的标准形式：包括最大化或最小化目标函数，以及一组线性不等式或等式的约束条件。例如“4”题和“5”题展示了如何将原始问题转换为标准形式，并通过图解法找出最优解。 线性规划的图解法是理解和解决实际问题的重要工具，尤其对于二维问题，通过绘制可行域和等值线可以直观地找到最优解。随着问题维度的增加，图解法的适用性降低，这时需要用到更复杂的算法，如单纯形法或内点法。在实际应用中，这些方法常被集成到运筹学软件中，以便快速有效地解决复杂优化问题。