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墨西哥帽激活函数下竞争神经网络的多态动力学:稳定与不稳定性研究
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更新于2024-07-14
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本文研究了具有墨西哥帽型激活函数的竞争神经网络的多重稳定性和不稳定性。这类激活函数与传统的S型或非递减饱和激活函数不同,它们的特点是非线性且中心有一个局部最小值,形似数学中的“墨西哥帽”图形。这种网络结构的多样性使得动力学行为复杂化,特别是在研究多稳态时,即系统存在多个稳定状态,这对于理解神经网络的学习能力和适应性至关重要。 作者们探讨了这类网络在动力学层面上的特性,通过细致地分析每个状态分量的动态演化,运用不动点定理和分析方法来提出了一系列充分条件。这些条件涵盖了平衡点的数量、位置,以及它们的局部稳定性和不稳定性。他们关注的是在非单调激活函数背景下,网络如何可能表现出非平凡的稳定性行为,并且这些发现是对先前研究成果的拓展和深化。 文章的核心内容包括对网络模型的数学建模,通过系统的稳定性分析,确定了影响网络行为的关键参数和特征。此外,文中还提供了两个具体的仿真示例,用以验证理论分析的准确性和有效性。这些实例展示了墨西哥帽型激活函数在实际问题中的应用,如模式识别、信号处理等领域的潜在优势。 这篇研究论文不仅深入研究了具有墨西哥帽型激活函数的竞争神经网络的内在动力学机制,而且为理解这类网络在实际问题中的性能提供了新的理论基础和实用指导。通过阅读这篇论文,读者可以了解如何利用非单调激活函数设计更复杂的神经网络模型,以提高其在解决多模态问题时的性能和鲁棒性。
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Abstract and Applied Analysis
+
𝑁
𝑗 =𝑖,𝑗=1
𝑖𝑗
𝑗
𝑗
(
)
+
𝑖
𝑖
(
)
+
𝑖
≤max −
𝑖
𝑖
+
𝑖𝑖
𝑖
𝑖
,−
𝑖
𝑖
+
𝑖𝑖
𝑖
𝑖
+
𝑁
𝑗 =𝑖,𝑗=1
max
𝑖𝑗
𝑗
,
𝑖𝑗
V
𝑗
+max
−1
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
,
−1
𝑖
𝑖
V
𝑖
𝑖
+
𝑖
<0.
()
In summary, wherever the initial state
𝑖
(0)(∈N
1
)is
located in,
𝑖
()wouldowtoandentertheinterval(−∞,
𝑖
]
and stay in this interval forever.
Lemma 5. All the state components
𝑖
(), ∈N
3
,willowto
the interval [
𝑖
,
𝑖
]when tends to +∞.
Proof. We prove it in the following three cases due to the
dierent location of
𝑖
(0).
Case (i). Consider
𝑖
(0)∈[
𝑖
,
𝑖
]. In this case, if there exists
some
∗
≥0such that
𝑖
(
∗
)=
𝑖
,
𝑖
≤
𝑖
()≤
𝑖
for 0≤≤
∗
,thenwehave
𝑖
∗
=−
𝑖
𝑖
∗
+
𝑖𝑖
𝑖
𝑖
∗
+
𝑁
𝑗 =𝑖,𝑗=1
𝑖𝑗
𝑗
𝑗
∗
+
𝑖
𝑖
∗
+
𝑖
≥−
𝑖
𝑖
+
𝑖𝑖
𝑖
𝑖
+
𝑁
𝑗 =𝑖,𝑗=1
min
𝑖𝑗
𝑗
,
𝑖𝑗
V
𝑗
+min
−1
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
,
−1
𝑖
𝑖
V
𝑖
𝑖
+
𝑖
>0;
()
similarly, if there exists some
∗∗
≥0such that
𝑖
(
∗∗
)=
𝑖
,
𝑖
≤
𝑖
()≤
𝑖
for 0≤≤
∗∗
,thenweget
𝑖
∗∗
≤−
𝑖
𝑖
+
𝑖𝑖
𝑖
𝑖
+
𝑁
𝑗 =𝑖,𝑗=1
max
𝑖𝑗
𝑗
,
𝑖𝑗
V
𝑗
+max
−1
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
,
−1
𝑖
𝑖
V
𝑖
𝑖
+
𝑖
<0.
()
From the above two inequalities, we know that if
𝑖
(0)∈
[
𝑖
,
𝑖
],then
𝑖
()would never get out of this interval. In the
sameway,wecanalsoobtainthatifthereexistssome
0
>0
such that
𝑖
(
0
)∈[
𝑖
,
𝑖
],then
𝑖
()would stay in it for all
≥
0
.
Case (ii). Consider
𝑖
(0)∈(−∞,
𝑖
).When
𝑖
()∈(−∞,
𝑖
],
from the denition of index subset N
3
,weget
𝑖
(
)
≥−
𝑖
𝑖
+
𝑖𝑖
𝑖
𝑖
+
𝑁
𝑗 =𝑖,𝑗=1
min
𝑖𝑗
𝑗
,
𝑖𝑗
V
𝑗
+min
−1
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
,
−1
𝑖
𝑖
V
𝑖
𝑖
+
𝑖
>0;
()
when
𝑖
()∈(
𝑖
,
𝑖
), it follows from the denition of index
subset N
3
,equalities
𝑖
(
𝑖
)=
𝑖,1
𝑖
+
𝑖,1
,
𝑖
(
𝑖
)=
𝑖,1
𝑖
+
𝑖,1
that
𝑖
(
)
=−
𝑖
𝑖
(
)
+
𝑖𝑖
𝑖,1
𝑖
(
)
+
𝑖,1
+
𝑁
𝑗 =𝑖,𝑗=1
𝑖𝑗
𝑗
𝑗
(
)
+
𝑖
𝑖
(
)
+
𝑖
≥min −
𝑖
+
𝑖𝑖
𝑖,1
𝑖
,−
𝑖
+
𝑖𝑖
𝑖,1
𝑖
+
𝑖𝑖
𝑖,1
+
𝑁
𝑗 =𝑖,𝑗=1
𝑖𝑗
𝑗
𝑗
(
)
+
𝑖
𝑖
(
)
+
𝑖
=min −
𝑖
𝑖
+
𝑖𝑖
𝑖
𝑖
,−
𝑖
𝑖
+
𝑖𝑖
𝑖
𝑖
+
𝑁
𝑗 =𝑖,𝑗=1
𝑖𝑗
𝑗
𝑗
(
)
+
𝑖
𝑖
(
)
+
𝑖
≥min −
𝑖
𝑖
+
𝑖𝑖
𝑖
𝑖
,−
𝑖
𝑖
+
𝑖𝑖
𝑖
𝑖
+
𝑁
𝑗 =𝑖,𝑗=1
min
𝑖𝑗
𝑗
,
𝑖𝑗
V
𝑗
+min
−1
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
,
−1
𝑖
𝑖
V
𝑖
𝑖
+
𝑖
>0.
()
us, in this case,
𝑖
()would monotonously increase until it
reaches the interval [
𝑖
,
𝑖
].
Case (iii). Consider
𝑖
(0)∈(
𝑖
,+∞).When
𝑖
()∈(
𝑖
,+∞),
it follows that
𝑖
(
)
≤−
𝑖
𝑖
+
𝑖𝑖
𝑖
𝑖
+
𝑁
𝑗 =𝑖,𝑗=1
max
𝑖𝑗
𝑗
,
𝑖𝑗
V
𝑗
+max
−1
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
,
−1
𝑖
𝑖
V
𝑖
𝑖
+
𝑖
<0.
()
erefore,
𝑖
()would monotonously decrease until it enters
the interval [
𝑖
,
𝑖
].
In summary, wherever the initial state
𝑖
(0)(∈N
3
)is
located in,
𝑖
()wouldowtoandentertheinterval[
𝑖
,
𝑖
]
andstayinitnally.
Lemma 6. All the state components
𝑖
(), ∈N
4
,willowto
the interval [
𝑖
,+∞)when tends to +∞.
Proof. Similar to the proof of Lemmas and ,wewillprove
it in the following two cases.
Case (i). Consider
𝑖
(0)∈[
𝑖
,+∞). If there exists some
∗
≥0
such that
𝑖
(
∗
)=
𝑖
,
𝑖
()≥
𝑖
for 0≤≤
∗
,then
𝑖
∗
≥−
𝑖
𝑖
+
𝑖𝑖
𝑖
𝑖
+
𝑁
𝑗 =𝑖,𝑗=1
min
𝑖𝑗
𝑗
,
𝑖𝑗
V
𝑗
+min
−1
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
,
−1
𝑖
𝑖
V
𝑖
𝑖
+
𝑖
>0.
()
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