非稳态方程的Crouzeix-Raviart型有限元方法：克服正则性限制与最优误差估计

本文主要探讨了非稳态方程求解的一种创新方法，即Crouzeix-Raviart型有限元方法。在传统的有限元素法中，区域剖分通常需要满足正则性条件，这对于某些实际问题的处理可能存在局限性。作者王健针对这一挑战，首先利用Crouzeix-Raviart型有限元技术，这是一种在不满足正则性条件的区域剖分下也能有效工作的数值分析工具。这种新型元的使用，使得理论分析和数值模拟可以在更为广泛的情况下进行，尤其适用于那些在几何复杂或者边界不规则的非稳态问题。 Crouzeix-Raviart有限元的独特之处在于其设计，它允许在非匹配网格上实现稳定的求解，从而克服了传统方法对于网格质量的要求。通过这种方法，作者能够导出针对这类非稳态方程的全离散格式，这是将连续问题转化为离散形式的关键步骤，使得数值解能够逼近原问题的精确解。 接下来，作者引入了Riesz投影算子这一关键工具，这是一个在函数空间中进行投影的算子，有助于在保持精确度的同时，提供误差估计的理论基础。利用Riesz投影算子的特性，结合新颖的技巧和方法，作者得以证明了关于误差的最优估计，这表明所提出的数值解具有较高的精度和稳定性。 这篇论文的主要贡献在于提出了一种适用于非稳态方程的Crouzeix-Raviart型有限元方法，不仅突破了传统方法对网格正则性的限制，还通过优化的误差估计确保了解的可靠性。这对于数值计算和工程应用中的非线性、多尺度问题的解决具有重要意义，展示了数值分析方法的灵活性和适用性。