各向异性非协调Crouzeix-Raviart有限元方法在椭圆问题中的应用

"该文章是一篇2012年的自然科学论文，主要探讨了在二维各向异性网格环境下，二阶椭圆问题的非协调Crouzeix-Raviart型有限元方法。研究对象是满足最大角条件和坐标系条件的非均匀三角形网格，作者石东洋和许超通过分析，得出了最优的能量模和L2-模误差估计，为解决这类问题提供了理论基础。" 在二阶椭圆问题的数值求解中，有限元方法是一种广泛应用的技术。然而，传统有限元方法通常依赖于网格的正则性或拟一致性，即要求网格满足一定的形状规则，例如单元的最大边长与最小边长之比有一个上界。但在处理具有各向异性特征的问题时，即解在某些方向上变化显著，这样的假设可能不再适用。各向异性网格剖分能够更好地捕捉解的局部特性，允许在解变化剧烈的方向上采用更细的网格。 本文关注的是非协调Crouzeix-Raviart型有限元方法，这是一种线性的、不完全符合微分方程的有限元方法。在各向异性网格上，这种方法面临两个挑战：一是由于hK与ρK的比例可能无限大，使得传统的插值误差估计方法，如Bramble-Hilbert引理，无法直接应用；二是非协调元的误差估计中会出现与单元长边相关的因子，当网格细化时，这个因子趋于无穷大，导致传统分析失效。 为了解决这些问题，作者们在满足最大角条件和坐标系条件的二维各向异性三角形网格上，对二阶椭圆问题进行了深入研究。他们成功地得到了最优的能量模和L2-模误差估计，这些估计结果对于理解和改进非协调有限元方法在各向异性问题中的应用至关重要。尽管已有文献对各向异性插值进行了研究，但这些方法在实际应用中可能存在复杂性和验证难度。因此，本文提出的方法是对现有工作的补充和改进，提高了理论的实用性和可操作性。 这篇论文为各向异性非协调有限元方法提供了新的理论支持，对于处理具有各向异性特征的复杂二阶椭圆问题，特别是在计算效率和精度之间取得平衡方面，具有重要的理论和实践意义。通过最优误差估计，研究者和工程师可以更好地理解和控制数值模拟的精度，从而在实际应用中选择合适的有限元策略。