动态规划解决数字三角形路径问题：递减排序与优化搜索

本篇文章主要讨论了在给定数字序列的情况下，如何运用动态规划方法进行递减排序并解决两个具体的例题。动态规划是一种通过将复杂问题分解成相互重叠子问题来求解问题的算法，通常用于优化问题，寻找最优解。在这个例子中，关键概念是“动态转移方程”，例如`F[i]:=max(F[i], F[j]+1)`，它表示当前状态（第i个元素）的最优解可以通过前两个元素的最优解加上当前元素的值来达到。 首先，作者通过一个旅行问题引入动态规划思想，比如从杭州到北京的最少乘车费用问题。问题分为两种情况：一是必须在某些城市停留（贪心策略），可以独立求解；二是允许转车，此时子问题之间可能存在依赖，不能单纯采用贪心算法，因为可能会导致错误答案。这就需要设计合适的动态规划结构来处理。 接着，文章转向了数字三角形的路径问题，具体要求是从底层到顶层找到一条权值之和最小或最大的路径。这里采用了二维数组`f[I,j]`来存储每个位置到最后一行的最优解，动态规划的递推关系明确表达为`f(i,j)=a[i,j]+min{f(i-1,j), f(i-1,j+1)}`。这个过程是典型的“自底向上”计算方式，逐层更新最优解。 然而，从顶层“自顶向下”的递归方法虽然直观，但效率较低，时间复杂度为O(2^n)，不适合大规模数据。因此，文章提到优化搜索算法，通过记录已计算过的结果（存储在`opt`数组中），避免重复计算，从而降低时间复杂度。这种方法本质上是记忆化搜索，也是动态规划的一个重要应用技巧。 总结来说，这篇文章详细解释了如何利用动态规划解决涉及递减排序及路径优化的问题，并通过实例和代码展示了如何设计动态转移方程，以及如何通过记忆化技术提高算法效率。这对于理解和应用动态规划在实际问题中的优化至关重要。