上海交通大学研究生矩阵考试题目集锦

"这是一份关于上海交通大学研究生矩阵理论课程的考试试卷，包含了2009年至2012年的试题。试题涵盖了矩阵理论的基础概念、性质以及应用。" 1. **向量空间的维数与和** - 问题1涉及到向量空间的线性组合，给定了两个子空间U和W，要求计算它们的直和(U+W)的维数与U的维数之差。根据向量空间的性质，如果两个子空间没有公共非零向量，则dim(U+W)=dimU+dimW；如果有交集，则dim(U+W)=dimU+dimW-dim(U∩W)。题目要求计算dim(U+W) - dimU，需要知道U和W的维数以及它们的交集的维数。 2. **正交补的性质** - 问题2考察了正交补的性质。正交补满足一些特定的性质，例如`(U+W)⊥ = U⊥ ∩ W⊥` 和 `(U∩W)⊥ = U⊥ + W⊥`。题目给出了四个选项，要求选择正确的等式对应关系。解答时需要理解正交补的定义和运算规则。 3. **矩阵函数** - 问题3涉及矩阵函数的计算。给定矩阵A和B，要求找到矩阵函数F(x) = (x-1)^2 * (x-2)除以(x-1) * (x-2)^2的结果，当F(A)应用于矩阵A时。解题时需要利用矩阵幂和多项式函数的性质。 4. **矩阵范数与谱半径** - 问题4探讨了矩阵范数与谱半径的关系。谱半径ρ(A)是矩阵A的所有特征值绝对值的最大值，而矩阵范数||A||是A所有可能向量的收缩因子的最大值。选项中涉及了矩阵范数与谱半径、矩阵幂的范数的关系，需要理解这些概念并应用相应的不等式。 5. **谱定理与矩阵元素的关系** - 问题5基于谱定理，该定理将实对称矩阵A与一组正交基联系起来，其中A的特征值λi对应于基向量si的标量乘积的平方和。题目中给出了四个选项，比较特征值绝对值的和与矩阵元素绝对值的平方和，要求选择正确的等式。 6. **线性变换** - 问题6给出了一个线性变换σ，它作用在三维向量上，并给出了其表示形式。理解线性变换如何改变向量的坐标是解答此题的关键。 7. **矩阵乘法** - 问题7涉及矩阵乘法，要求解一个二阶矩阵作用下的线性系统。理解矩阵乘法的定义和矩阵乘法的结果是解决问题的基础。 8. **矩阵的特征值与特征向量** - 问题8给出了一个矩阵A，需要找出它的特征值和对应的特征向量。这需要对特征值的定义和计算方法有深入的理解。 这份矩阵理论的试卷测试了学生对矩阵的基本概念，包括矩阵的运算、线性空间的性质、矩阵函数、谱理论、线性变换和特征值等多个方面的理解和应用能力。解答这些问题需要扎实的矩阵理论基础和一定的计算技巧。