机器学习：局部加权线性回归与最优化方法

"这篇资料主要介绍了局部加权线性回归（LWR）以及与之相关的回归和最优化方法。" 局部加权线性回归（LWR）是一种非参数回归方法，它通过赋予不同距离的数据点不同的权重来进行回归分析。与传统的线性回归不同，LWR在预测时只考虑与目标点附近的数据点，这些数据点的权重随着它们与目标点距离的增加而减小。这种机制使得模型能够在局部区域内更好地适应数据的非线性结构。 线性回归是最基础的回归分析方法之一，通常用于预测连续变量。在单变量线性回归中，模型形式为 y = ax + b，其中y是因变量，x是自变量，a是斜率，b是截距。当涉及到多个自变量时，模型变为多元线性回归，形式为 y = θ1x1 + θ2x2 + ... + θnxn + b，其中θi代表每个自变量的权重。 回归问题常常与最优化问题相结合，寻找使误差函数（如均方误差）最小化的参数。最小二乘法是解决这一问题的常见方法，其目标函数是所有样本误差平方和的平均值。为了找到最小化目标函数的参数，可以使用梯度下降法。梯度下降是一种迭代优化算法，通过沿着梯度的负方向更新参数来逐步逼近极小值。有批处理梯度下降和随机梯度下降两种变体，前者在每次迭代时使用所有样本，后者则仅使用一个随机样本，这使得随机梯度下降在大数据集上更加高效。 如果线性回归的矩阵XTX可逆，参数θ的解析解可以通过求导等于零得到，即XT(Xθ - Y) = 0。但在某些情况下，如XTX不可逆或维度过高，需要依赖数值方法，如梯度下降来估计参数。 局部加权线性回归中的权重ω通常是基于距离的，例如使用高斯核函数，权重随着距离目标点的距离增加而指数衰减，带宽τ决定了这种衰减的速度。这种权重设置使得模型更关注于与预测点邻近的数据，从而增强了模型对局部细节的捕捉能力。 此外，资源中还提到了参数学习算法与非参数学习算法的区别，以及Logistic回归。Logistic回归是一种广泛使用的分类模型，它利用Logistic函数作为链接函数，通过最大似然估计来求解参数，适用于处理二分类问题。Logistic函数的导数可以帮助我们理解模型参数的迭代过程。 这份资料涵盖了从基本的线性回归到更复杂的局部加权线性回归，以及相关的最优化方法，如梯度下降和Logistic回归，对于理解和应用这些概念具有很高的价值。