动态规划经典题目——合并石子问题

"输入样例CONVOY.IN与CONVOY.OUT是关于动态规划经典题目的示例，涉及合并石子问题的求解。" 在计算机科学中，动态规划是一种强大的算法设计技术，常用于解决最优化问题。它不是特定的算法，而是一种策略，适用于多种不同的问题。动态规划的核心思想是将复杂问题分解为更小的子问题，通过存储和重用子问题的解来避免重复计算，从而达到高效求解的目的。 在动态规划中，我们通常会定义一个状态，这个状态反映了问题的某个阶段或部分情况。接着，我们会找出从一个状态转移到另一个状态的规则，这通常涉及找到最优决策。一旦我们建立了状态转移方程，就可以构建一个表格来存储所有状态的解，最后通过表格中的信息得出全局最优解。 例如，题目中的"合并石子"问题，我们可以定义状态`f[i][j]`表示将第`i`堆到第`j`堆的石子合并成一堆的最小得分。这是一个典型的二维动态规划问题。状态转移方程为： ```markdown f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k+1][j] + s[j] - s[i-1]) ``` 这里的`f[i][j]`表示将第`i`堆到第`j`堆合并的最优得分，`s[i-1]`和`s[j]`分别表示第`i-1`堆和第`j`堆的石子数，`s[j] - s[i-1]`是合并第`i`到`j`堆石子增加的得分。`k`遍历`i`到`j-1`，寻找将第`i`到`k`堆与第`k+1`到`j`堆分别合并的最优得分，然后取两者之和的最小值。 输入样例CONVOY.IN提供了一组石子堆的数据，如`7`堆石子，每堆的石子数量分别为`13, 7, 8, 16, 21, 4, 18`。输出样例CONVOY.OUT给出了对应的最小得分，即`239`。这个问题可以通过编写C++程序，利用上述状态转移方程来解决，如参考程序所示。 在实现动态规划算法时，需要注意内存效率，因为可能会需要存储大量的中间状态。对于二维数组，空间复杂度通常是`O(n^2)`，其中`n`是问题规模。在某些情况下，可以通过使用滚动数组或减小状态空间来优化空间需求。 动态规划是一种重要的算法设计方法，适用于解决如背包问题、最长公共子序列、旅行商问题等许多实际问题。通过理解和熟练应用动态规划，程序员能够有效地解决一系列复杂优化问题。