xvi CONTENTS
10.6.3 Exercises for Section 10.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
10.7 Counting Triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
10.7.1 Why Count Triangles? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
10.7.2 An Algor ithm for Finding Triangles . . . . . . . . . . . . 381
10.7.3 Optimality of the Triangle-Finding Algorithm . . . . . . . 382
10.7.4 Finding Triangles Using MapReduce . . . . . . . . . . . . 383
10.7.5 Using Fewer Reduce Tasks . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
10.7.6 Exercises for Section 10.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
10.8 Neighborhood Properties of Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
10.8.1 Directed Graphs and Neighborhoods . . . . . . . . . . . . 386
10.8.2 The Diameter o f a Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 8
10.8.3 Transitive C losure and Reachability . . . . . . . . . . . . 389
10.8.4 Transitive C losure Via MapReduce . . . . . . . . . . . . . 390
10.8.5 Smart Transitive Closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
10.8.6 Transitive C losure by Graph Reduction . . . . . . . . . . 393
10.8.7 Approximating the Sizes of Neighborhoods . . . . . . . . 395
10.8.8 Exercises for Section 10.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
10.9 Summary of Chapter 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
10.10References for Chapter 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
11 Dimensionality Reduction 405
11.1 Eigenvalues and Eigenvectors of Symmetric Matrices . . . . . . . 406
11.1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
11.1.2 Computing Eigenvalues and Eigenvectors . . . . . . . . . 407
11.1.3 Finding Eigenpairs by Power Iteration . . . . . . . . . . . 408
11.1.4 The Matr ix of Eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
11.1.5 Exercises for Section 11.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
11.2 Principal-Component Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
11.2.1 An Illustrative Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
11.2.2 Using Eigenvectors for Dimensionality Reduction . . . . . 416
11.2.3 The Matr ix of Distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
11.2.4 Exercises for Section 11.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
11.3 Singular-Value Decompositio n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
11.3.1 Definition of SVD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
11.3.2 Interpretation of SVD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
11.3.3 Dimensionality Re duction Using SVD . . . . . . . . . . . 422
11.3.4 Why Zeroing Low Singular Values Works . . . . . . . . . 423
11.3.5 Querying Using Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
11.3.6 Computing the SVD of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . 426
11.3.7 Exercises for Section 11.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
11.4 CUR Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
11.4.1 Definition of CUR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
11.4.2 Choosing Rows and Columns Properly . . . . . . . . . . . 430
11.4.3 Constructing the Middle Matrix . . . . . . . . . . . . . . 431
11.4.4 The Complete CUR Decompo sition . . . . . . . . . . . . 43 2
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