线性代数精要：矩阵与初等变换

"这篇文档包含了线性代数的重要知识点，主要针对考研数学复习，由杨凯钧编辑于2005年10月。" 线性代数是数学的一个核心分支，它研究向量、矩阵、线性变换以及它们之间的关系。在本资源中，主要讨论了以下几个关键概念： 1. **线性运算与转置**： - 矩阵的加法和乘法满足交换律和结合律，即\( A + B = B + A \) 和 \( (A + B) + C = A + (B + C) \)。 - 数乘矩阵满足分配律，\( c(A + B) = cA + cB \) 和 \( (c + d)A = cA + dA \)，其中\( c \)和\( d \)是标量。 - 转置矩阵定义为\( A^T \)，它将矩阵的行变为列，即\( (AB)^T = B^TA^T \)。 2. **矩阵**： - **n阶矩阵**：具有n行和n列的矩阵。 - **对角矩阵**：主对角线上元素非零，其他位置为0的矩阵，记为\( \Lambda \)。 - **数量矩阵**或**标量矩阵**：所有元素都相等且等于某个标量c的矩阵，记为\( cI \)，其中\( I \)是单位矩阵。 - **单位矩阵**或**单位阵**：对角线上元素为1，其他位置为0的矩阵，记为\( E \)或\( I \)。 - **上（下）三角矩阵**：除了主对角线以下（上）的元素为0的矩阵。 - **对称矩阵**：矩阵与其转置相等，即\( A = A^T \)。 - **反对称矩阵**：矩阵与其转置差一个负号，即\( A = -A^T \)。 3. **向量组的线性组合**： - 向量组\( \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_s \)的线性组合可以表示为\( c_1\alpha_1 + c_2\alpha_2 + ... + c_s\alpha_s \)，其中\( c_1, c_2, ..., c_s \)是标量。 4. **矩阵的初等变换**： - **初等行变换**包括交换两行、将某一行乘以非零常数以及将一行的倍数加到另一行上。 - **阶梯形矩阵**：通过初等行变换得到的矩阵，特点是下方有零行且非零行的第一个非零元素的位置逐行递增。 - **简单阶梯形矩阵**：阶梯形矩阵且非零行的第一个非零元素为1，且其上方元素为0。 - **行阶梯形矩阵**与**上三角矩阵**的关系：每一个矩阵都可以通过初等行变换转化为行阶梯形矩阵，若行阶梯形矩阵没有非零行在上方，那么原矩阵是上三角矩阵，但反之不成立。 线性代数中的这些概念在解决线性方程组、特征值与特征向量、线性空间、线性映射等问题时扮演着核心角色，是现代科学和技术领域不可或缺的基础工具。对这些知识点的深入理解和掌握，对于学习和应用线性代数至关重要。