休斯稳定SUPG技术：自适应细化与二维扰动对流扩散问题的后验误差估计

本篇研究报告由Brehmit Kaur和Vivek Sangwan撰写，发表于2019年11月至2020年4月期间。研究的焦点是针对二维扰动对流扩散问题，这是一种在实际工程和物理应用中常见的偏微分方程模型，特别是在边界层和内部层现象显著的高斯-奥德里昂(Stokes)流或热传导问题中。由于问题的奇异摄动参数较小，导致解决方案呈现出锐利的边界层结构，这对传统的数值方法构成了挑战。 休斯稳定策略（Hughes Stabilization）与流线上风/ Petrov-Galerkin（SUPG）方法被结合使用，以增强数值解对这类复杂行为的捕捉能力。 Hughes稳定性通过在有限元方法中添加额外的稳定项，提高了方法对不稳定流动的处理，而SUPG则是在离散化过程中引入的一个通量修正，旨在解决对流问题中的数值震荡。 核心贡献是开发了一种在各向异性网格上的能量范数中可靠的后验误差估计。后验误差估计是对已计算的数值解与真解之间的差距的一种定量评估，这对于确保计算的精度至关重要。然而，这些估计结果显示对奇异摄动参数敏感，这意味着它们的有效性可能会随着问题参数的变化而减弱。 为了克服这个问题，作者提出了一种自适应网格细化算法。这种算法能够根据后验误差估计动态调整网格的精细程度，尤其是在边界层附近，以达到更高的分辨率和更准确的模拟结果。这种方法的目标是减少计算成本，同时保持解决方案的质量，避免了过度细化导致的计算负担。 数值实验部分展示了新算法的有效性和效率，通过对比标准方法，证明了自适应网格细化在处理这类问题时的优势。这些实验数据支持了提出的策略，并为进一步优化数值模拟提供了实证依据。 这篇研究工作不仅改进了数值技术，还为处理具有内部层和边界层特征的对流扩散问题提供了一种高效且精确的方法，具有很高的实用价值。它为后续类似问题的研究者提供了新的工具和技术参考。