最速下降法与牛顿法在图像处理中的应用——Matlab编程详解

本章节深入探讨了《数字图像处理》第三版中的最速下降法和牛顿法在无约束优化问题中的应用。这些方法是非线性优化的核心内容，对于理解数值计算中的最优化过程至关重要。作者马昌凤在2009年的著作中，针对数学与应用数学、信息与计算科学专业本科生，以及应用数学、计算数学和运筹学与控制论专业研究生，甚至是理工科相关领域的研究生和对最优化理论感兴趣的教师和科技工作者，提供了一个实用且严谨的学习平台。 首先，章节覆盖了非线性最优化的基本理论，包括（精确或非精确）线搜索技术，这是优化过程中寻找最优解的关键步骤，通过比较不同的搜索策略来逐步接近目标函数的最小值。精确线搜索如0.618法和抛物线法，非精确线搜索则遵循Armijo准则，确保搜索的可靠性。 接着，重点介绍了最速下降法，这是一种基于梯度信息的简单而直观的优化算法，通过沿着负梯度方向逐步降低函数值。修正牛顿法则是对最速下降法的改进，通过使用二阶导数信息，使搜索更接近局部最优解，但可能需要处理矩阵运算的复杂性。 共轭梯度法是一种迭代方法，特别适合大型稀疏矩阵的求解，而拟牛顿法是一类广义的牛顿方法，通过构建近似Hessian矩阵来逼近真实梯度下降，提高收敛速度。信赖域方法则是结合了局部模型和全局搜索策略，旨在找到全局最优解的同时保持计算效率。 针对非线性最小二乘问题，书中详细阐述了解决此类问题的方法，如著名的Levenberg-Marquardt (L-M)算法。对于约束优化问题，讨论了最优性条件，如KKT条件，并介绍了罚函数法和可行方向法，这些方法用于处理问题的边界约束。 二次规划问题，特别是序列二次规划(SQP)方法，被用来解决具有二次项的优化问题，其中包含了光滑牛顿法，这是一种高效且稳定的算法。最后，书中还涵盖了求解约束优化问题的SQP方法，它是通过分解大问题为一系列二次子问题来求解的，展示了优化技术的灵活性和广泛性。 此外，马昌凤还提供了丰富的实例和习题，帮助读者巩固理论知识并掌握Matlab程序设计在最优化实践中的应用。书中特别强调了数值方法在实际计算中的实施，以及理论分析与实践操作之间的平衡。整体而言，这一章为读者提供了一套完整的非线性优化理论与算法学习体系，适用于不同层次的学习者。