2012年耦合方程组弱解存在性证明：应用Schauder不动点定理

本文档探讨了一类耦合方程组在自然科学领域内的理论研究，具体针对的是2012年发表在《山东农业大学学报(自然科学版)》的一篇文章。该文章的标题是"一类耦合方程组弱解存在性证明"，作者旷雨阳和陶从江来自贵州省安顺学院数学与计算机科学系。他们研究的核心问题是解决在给定假设条件下，关于函数H和u的耦合方程组： 1. 对于H的偏微分方程： \( H_t + V_x \left[\alpha(x, u) V_x H\right] = 0 \) 其中 \( x \in Q_T = \{(x, t) | x \in \Omega, 0 < t \leq T\} \)，\( V_x \) 表示对空间变量x的偏导数，\( \alpha(x, u) \) 是一个关于x和u的函数。 2. 对于u的方程： \( u_t - V'[k(u) V'u] = r(u) I V_x H \) 同样地，\( V' \) 指的是u对时间的导数，\( k(u) \) 是u的函数，\( r(u) \) 也是一个函数，\( I V_x H \) 表示对H的内积。 3. 附加的边界条件和初始条件： - 边界条件：\( H(x, t) = 0, u(x, t) = 0 \) 当 \( (x, t) \in \partial \Omega \times [0, T] \) - 初始条件：\( H(x, 0) = H_0(x), u(x, 0) = u_0(x) \) 对于所有 \( x \in \Omega \) 文章的主要贡献在于利用Schauder不动点定理来证明在这些设定下，耦合方程组存在至少一个弱解。所谓弱解，意味着满足方程在泛函意义上的意义，而非经典意义上的解析解。这在处理非线性和不规则问题时尤其重要，因为它允许在某些限制条件下找到解决方案。 文章的关键词包括：耦合方程组、弱解、存在性、不等式，表明了研究的焦点在于数学分析中的动力系统理论和偏微分方程的解的存在性证明。此外，文章还提供了分类号S852.35以及文献标识码A，方便读者定位和引用。整个研究结果对于理解复杂系统中耦合变量的动态行为具有理论价值。