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最优化入门指南:预备知识与全球搜索方法详解
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《最优化导论》第四版是一本旨在为初学者提供最优化技术基础的教材,作者Edwin K. P. Chong和Stanislaw H. Zak撰写了这本书,由中国学者孙志强、白圣建、郑永斌和刘伟翻译,富二玲进行了审校。该书按照结构分为四个部分。 第一部分是预备知识,为后续章节奠定了数学基础,确保读者具备必要的理论背景,以便理解更复杂的优化概念和技术。这部分可能涵盖微积分、线性代数等相关基础知识。 第二部分主要探讨无约束优化问题,这是最优化的核心内容。作者讲解了如何解决线性方程组,引入了神经网络方法,这是一种模仿人脑处理复杂问题的计算模型,以及全局搜索方法,强调了寻找全局最优解的重要性。通过这些方法,读者将学会如何处理没有明确限制条件的问题。 第三部分深入讨论线性优化问题,详细介绍了线性规划模型、单纯形法(一种经典的算法,用于求解线性规划问题)、对偶理论,以及非单纯形方法,如分支定界法。此外,还涉及了整数线性优化问题,这对于应用领域如运筹学和经济学中的实际决策问题非常关键。 第四部分则是有约束非线性优化,这部分内容涵盖了纯等式约束和不等式约束下的优化问题,包括最优性条件的研究。读者将学习到凸优化问题,这是一种特殊的非线性优化形式,其解决方案易于找到。此外,书中还会介绍如何处理有约束的复杂优化问题,以及多目标优化问题,即在满足多个目标之间的权衡和折衷。 本书的特点在于丰富的实例和直观的几何演示,使得理论知识易于理解和掌握。它不仅适合高年级本科生作为入门教材,也适合研究生作为进一步研究的参考资料。本书版权由John Wiley & Sons, Inc.持有,未经许可,不得任何形式复制。简体中文版享有独家翻译出版权。
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4
最优化导论(第四版)
习题
1.
1
建立命题"(非
B
剧)=斗丰(非
A
削)
.,的真值表,证明该命题等价于命题
"A=
斗丰
B
1.
2
建立命题"非
(A
且(非
B
剧)
)γ"
的真值表,证明该命题等价于命题
"A=
司丰
B"ο
1.
3
建立合适的真值表,证明德摩根定律
o
1.
4
证明对于任意命题
A
和
B
,都有
"A.
∞(芷且
B)
或
(A
且(非
B))
..。这是因为命题
A
可以拆分为
"A
且
B"
和
"A
且(非
B)
..。比如,想要证明对于任意实数
x
,
都有
Ixl
注
x
,
需要分别证明
"Ixl
王军
Z
且
x:;;!:O"
和
"1
副主
~x
且
X <0"
。按照这两种情况分别证明要比直接证明
Ixl
:;;!:x
更加简单(见
2.4
节及
习题
2.7)
。
1.
5
(本习题来自参考文献
[22]
的第
80
页至第
81
页)给定排成一行的
4
张卡片,卡片的一面为字母,另一面
为数字。在卡片可见的一面上写着符号
S 8 3 A
请分析应该翻转哪张卡片才能判断规则"如果在卡片的一面为元音,那么在另外一面为偶数..是否正确。
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第
2
章向量空间与炬阵
2.1
向量与矩阵
η
维列向量定义为含有
n
个数的数组,记为
α?
表示向量
α
的第
4
个元素
D
定义
R
为全体实数组成的集合,那么由实数组成的
n
维列向
量可表示为
R"
,称为
η
维实数向量空间。通常将
]R
n
的元素用小写粗体字母表示(如
x)
。
向量
xε
配中的元素记为叭,…,凡。
η
维行向量记为
lα1
,
α2
,'
",
αnl
行向量
α
的转置记为
a
T
。比如,如果
叫
EFt-BEBEE--BEEtlet
」
12'n
αα
..
α
「
Illi---III-lL
一-
a
那么
a
T
=[α1
,
α2
,…,向]
相应的,可以记为
α=[
叭,吨,…,叽]丁。在本书中,如果不进行特别说明,只要提到向
量,均指列向量。
给定向量
α=[α1
,吨,…,
αJT
和
b
=
[哉,
b
2
, … ,
bnJ
T
,如果叫
=b;
,
i=1
,
2
,
…
,
n ,
那么这两个向量相等。
向量
α
与
b
的和记为
α
+b
,
计算方式为
α
+b=[
α1
+
b
1
,句+屿,…
7αn
十
bn]T
向量的相加运算具有如下性质:
1.交换性
α
+b=b
+
α;
2.
结合性
(α
+b)
+c=
α
+(b+c);
3.
存在零向量
。=
[0
,0
,…,
O]T
使得
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6
最优化导论(第四版)
a
十
O=O+a=
α
向量
[α1
-
b
J,
α2-~
,…,向
_b..]T
称为
α
和
b
之间的差,记为
α -b
。向量。
-b
记为
-b
,
有以下公式成立:
b+(a-b)=
α
-(-b)
= b
~
-(α
-b)=b-a
向量
b-
α
是向量方程
α
+x=b
的唯一解。假定
x
=
[叭,屿,…
,
X
n
]
T
是
α
+x
=b
的解,那么有
从而有
α1
+
Xl
= b
1
a2
十
X2
=~
α..
+X
n
= b
n
z=b-a
向量
aε
1R"与标量
αεR
的乘积定义为
α
a=[
αα1
,
αα2
,…,
ααn]T
该运算符具有如下性质:
1.分配性:对于任意实数
α
和
β
,有
2.
结合性
3.
标量
1
满足
4.
任意标量
α
满足
5.
标量。满足
6.
标量
-1
满足
α(α
+b)
=
α
a+
αb
(α+β
)a=
α
a+
βa
α(βα)
=
(αβ)α
1a=a
α0=0
Oa=O
(-l)a
=-a
注意,当且仅当
α=0
或
α=0
时,
αα=0
。可以看出,
α
a=O
等价于
αα1=αα'2
=…=
侃"
=0
。如果
α=0
或
α=0
,那么有
αα=0
。如果
α#0
,那么至少其中一个元素乌
#0
。
对于此元素,
α
问
=0
,因此必定有
α=0
。类似地,可证明
α#0
时,必有
α=0
。
如果方程
α1α1+α
2
a
2
+...
+α
kak
=0
中所有的系数叫
(44
,…
,
k)
都等于零,那么称向量集|矶,矶,…,叽!是线性无关的。
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第
2
幸向量空间与矩阵
7
如果向量集|矶,吼,…
,
a
k
1
不是线性元关的,那么称其为线性相关的。
如果集合中只包括一个向量。,由于对于任意
α
并
0
,都有
α0=0
,因此,该集合是线
性相关的。实际上,所有包含
0
向量的集合都是线性相关的。
如果集合中只包括单个非零向量
α~O
,只有
α=0
时,才有
αα=0
成立,因此,该集
合是线性无关的。
给定向量
a
,如果存在标量
α1
,…,吗,使得
4=α1
4
1
十
α2
4
2
+...
+α
kBk
那么称向量
α
为矶,酌,…,矶的线性组合。
命题
2.1
向量集|矶,酌,…,
α
k
I
是线性相关的,当且仅当集合中的一个向量可以
表示为其他向量的线性组合。
口
证明:必要性。如果
i
矶,矶,…,叽|是线性相关的,那么有
α1α1
十
α2α2+...+α
k4k
=0
其中至少存在一个标量叫
~O
,从而有
α1α2αk
aí=
一
-41
一
-a2
一…
--4k
αtαtα
也
充分性。假定向量
α1
可以被表示为其他向量的线性组合:
41=α2α2
十
α3
4
3
+…
+α
k4k
那么有
(-I)a1
+
α2G2+
…
+α
kGk
=
。
因为第
1
个标量非零,所以向量集!矶,酌,…
,
akl
是线性相关的。类似地,如果将
矶,
4=2
,…
,
k
表示为其他向量的线性组合,也可以得到同样的结论。.
令
ν
表示lR
n
的一个子集,如果
ν
在向量加和运算及标量乘积运算下是封闭的,那么
称
V
为
lR
n
的子空间。也就是说,如果
a
和
b
是
V
中的向量,那么
a+b
和
αα(α
是任意
标量)也是
ν
中的向量。
每个子空间都包含零向量。,这是因为如果
a
是子空间的一个元素,那么有
(
-1)a=
-a
,
因此,
α-a=O
也属于该子空间。
假定矶,叭,…,矶是配中的任意向量,它们所有线性组合的集合称为矶,酌,…,
a
k
张成的子空间,记为
机忡忡
2
向
]
=
{主响
:α1
川)
对于向量
a
,子空间
span[aJ
由向量
αα
组成,
α
为任意实数
(αε
lR)。同样,如果
α
可表
示为矶,叭,…,冉的线性组合,则有
span[
酌,酌,…
,
4k
,
G]
=
span[
酌,酌,…
,
ak]
因此,任意向量集合都能够张成一个子空间。
给定子空间
ν
,如果存在线性无关的向量集合|矶,酌,…,
α
k
1
cν
使得
v=
span[
矶,龟,…,叫],那么称!矶,酌,…,叽|是子空间
ν
的一组基。子空间
ν
中的所
有基都包含相同数量的向量,这一数量称为
V
的维数,记为
dimν
。
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最优化导论(第四版)
8
命题
2.2
表示为
如果|矶,酌,…
,
a
k
1
是
ν
的一组基,那么
V
中的任意向量
α
可以唯一地
口
B=αlBl
十
α2B2
十
...+α
1c
B
1c
其中,问
ER
,
i=1
,2
,…
,
ko
证明:假定
α
可以表示为以下两种形式:
B=α1α1+α2α2+"'+α
k
B
1c
或
0=
ßI01 +
ß202
十...
+
ßkOk
只需证明吨=乱
(i
= 1
,…
,
k)
即可。
已知
α1α1
十
α2
B
2
+...
+α
kOk
=
βl
B
l
+
ß2
0
2 +
...
+
ßkOk
(α1
一
β1)01
+
(α2
一
β2)02
+...
+
(αk
一
β
k)Ok
= 0
因为集合
iα4
,
4=1
,
2
,…,
kl
是线性无关的,所以有
α1
-β1
=α
2
-ß2
=
…
=α
k
-ßk
=0
,
从而可得叫
=β
币,
4=1
,…
,
ko
•
给定
V
的一组基|矶,矶,…,
α
k
1
和向量
αε
V
,
如果
0=α1
0
1
+α2α2+"'+α
1c
O
k
那么系数吨,
4=1
,…
,
k
称为
α
对应于基|矶,酌,…,
α
k
1
的坐标。
配的标准基为
该式可以改写为
nununu
nUTAnu
tinunU
,…,
e
n
=
e2 =
el
=
nU
唱
i
nunu
nunu
在标准基下,向量
x
可表示为
I
Xll
I
X21
a:
= I . I =
Xlel
+
X2
e
2
+…
+xne
n
I X
n
I
这就是称其为"标准基"的原因。
可按照类似的方式定义复向量空间。令
C
表示复数集合,
C"
表示饥维复数向量。可
以看出,集合
C"
具有与配类似的属性,其中标量可以取复数。
矩阵指的是行列数组,通常用大写粗体字母表示(如
A)o
m
行
η
列矩阵称为
mxη
矩阵,记为
α
ln
I
α2n
I
amnl
α12
α22
αm2
|α11
|α21
A=I
1αm1
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