小波分析入门：从Fourier变换到一维正交小波

"这篇资料主要介绍了小波变换的相关概念，包括一维连续小波变换、二进小波变换、多尺度分析以及正交小波变换，并通过实例展示了小波分析在单自由度动力分析中的应用。资料中还提及了Fourier变换作为对比，解释了其在信号时频局部化分析中的局限性。" 小波变换是一种数学工具，它能够同时在时间和频率上对信号进行局部分析，弥补了传统Fourier变换在时频分析上的不足。Fourier变换将信号从时域转换到频域，但无法提供时间信息，而小波变换则通过可变尺度和位置的函数（小波基）来实现对信号的时频局部化分析。 1. Haar小波是小波变换中的一种基础类型，常用于示例和简单计算。它具有简单的阶跃型结构，便于理解和实现。 2. 连续小波变换允许我们用一组小波函数与原始信号进行卷积，以得到不同尺度和位置的信号特征。常见的小波函数有Morlet小波、Meyer小波等，它们各有特点，适用于不同的信号分析场景。 3. 二进小波变换是离散形式的小波变换，适用于处理数字信号。它通过一系列的离散小波基函数来表达信号，并可以用于信号压缩和恢复。 4. 多尺度分析是小波理论的核心概念，通过构建一系列的滤波器（或称为尺度函数）来分析信号在不同分辨率下的特性，这些滤波器满足双尺度差分方程。 5. 正交小波变换是保证小波基函数之间正交的小波分析方法，它在保持信息无损的同时，可以简化计算过程。正交小波变换与多尺度分析密切相关，可以形成小波级数，用于离散信号的分析。 6. 小波分析的应用实例中，例如在单自由度动力分析中，小波变换能有效揭示系统的动态响应，尤其是在非平稳信号和瞬态现象分析中表现优越。 7. Fourier变换的局限性在于它不能直接展示信号频率成分随时间的变化。短时Fourier变换（STFT）尝试解决这个问题，但窗口大小的固定限制了时频分辨率。 通过以上内容，我们可以理解小波变换如何作为一种强大的工具，广泛应用于图像处理、信号检测、噪声消除、故障诊断等多个领域，提供比传统Fourier变换更为灵活和精细的信号分析方法。