数值计算课后习题解答与拉格朗日插值

"该资源为数值计算课程的习题答案，包括一次插值多项式、三次插值多项式的构造及应用，以及拉格朗日插值定理的证明与应用。" 本文主要涉及数值计算中的插值理论及其应用。插值是一种在离散数据点上构建多项式函数的方法，使得该多项式在每个数据点上都能精确匹配给定的函数值。这里主要讨论了一次插值和三次插值，并给出了具体解题过程。 1. 一次插值： 在问题一中，要求的是函数f(x) = e^(-x)的一次插值多项式L_1(x)。根据拉格朗日插值公式，当有两点(x_0, y_0)和(x_1, y_1)时，一次插值多项式为L_1(x) = a*x + b。通过将点(0, 1)和(1, e^(-1))代入，可以求得a和b的值，进而得到插值多项式。同时，利用插值误差的性质，可以估算插值误差的最大值。 2. 三次插值： 问题二中，给出了一个函数表，要求使用三次插值多项式来近似计算f(0.2)和f(0.8)。为此，首先需要构建一个四次插值多项式f(x) = a_0 + a_1*x + a_2*x^2 + a_3*x^3，利用给定的五对(x, f(x))的值，建立并解线性方程组，求得系数a_i，从而得到插值多项式。然后，将x=0.2和x=0.8代入多项式，计算出f(0.2)和f(0.8)的近似值。 3. 拉格朗日插值定理的应用： 在问题三中，证明了两个关于拉格朗日插值多项式的性质。第一个性质指出，对任意k，插值多项式的和等于x的k次幂；第二个性质表明，当k不为零时，节点差的乘积与拉格朗日基多项式的和为零。这两个性质是拉格朗日插值法的基础，对于理解和应用插值算法具有重要意义。 总结来说，这篇资料详细介绍了数值计算中的插值方法，包括一次插值和三次插值的构造，以及拉格朗日插值定理的相关证明。这些内容对于学习数值分析或数值计算的学生来说，是理解插值理论和应用的重要参考资料。