变步长求积公式优化函数积分计算精度PPT课件

变步长梯形积分算法是一种用于求解函数定积分的数值方法。在积分计算中，通常会将积分区间分成若干个小区间，并在每个小区间上采用低阶求积公式，然后将所有小区间上的计算结果加起来得到整个区间上的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想。常用的复化求积公式有复化梯形公式和复化辛普森公式。复化求积方法对于提高计算精度是行之有效的方法，但其一个主要缺点在于要先估计出步长。若步长太大，则难以保证计算精度，若步长太小，则计算量太大，并且积累误差也会增大。因此，在实际计算中通常采用变步长的方法，即把步长逐次分半，直至达到某种精度为止。 变步长梯形积分算法的基本思想是在求积过程中，通过对计算结果精度的不断估计，逐步改变步长（逐次分半），直至满足精度要求为止。即按照给定的精度实现步长的自动选取。具体而言，可以将积分区间 [a, b] 等分，即分成 n 个子区间，一共有 n+1 个节点，即 x=a+kh, k=0,1,…, n，步长h=(b-a)/n。对于某个子区间，利用梯形公式计算积分近似值为h*(f(a)+f(b))/2，然后将所有子区间上的计算结果加起来得到整个区间上的求积公式。 变步长梯形积分算法的优点在于可以根据需要在不同的区间上采用不同的步长，从而实现更高的计算精度。其缺点在于计算量可能会比较大，尤其是对于需要非常高的精度的积分计算。然而，通过对步长的自适应调整，可以在一定程度上克服这一缺点。 在实际应用中，变步长梯形积分算法在工程、科学和经济领域中都得到了广泛的应用。例如，在工程中，它常常用于对曲线下面积的近似计算，以及对一些特定函数的积分求解。在科学研究中，它可以用于对一些复杂函数的积分求解以及对一些概率密度函数的近似计算。在经济领域，它可以用于对一些经济模型中的积分求解，以及对一些风险投资中的期望收益的近似计算。 总之，变步长梯形积分算法是一种有效的数值计算方法，通过逐步改变步长以适应不同区间的需要，可以实现较高的计算精度，并在实际应用中得到了广泛的应用。