矩阵乘法与查找算法分析:步数计算与比较次数优化
本次作业涉及计算机算法设计与分析中的两个核心概念:矩阵乘法和查找最大/最小元素。首先,我们来看第一个问题,计算矩阵乘法函数的执行步数。 题目要求分析一个模板类函数 `Mult`,它实现了两个矩阵的乘法操作。该函数接受三个参数:两个指向矩阵的指针(`T**a` 和 `T**b`),以及矩阵的维度(`int m`,`int n` 和 `int p`)。函数的主要逻辑是通过三层嵌套循环进行矩阵乘法,具体步骤如下: 1. 外层循环 `i` 遍历第一个矩阵的行(`m` 次)。 2. 内层循环 `j` 遍历第二个矩阵的列(`p` 次),每次循环内部执行: - 初始化累加器 `Tsum` 为 0。 - 第三层循环 `k` 遍历第一个矩阵的列(`n` 次),将 `a[i][k]` 与 `b[k][j]` 相乘并累加到 `sum`。 - 更新结果矩阵 `C[i][j]` 为累加后的值。 根据上述步骤,我们可以构建执行步数统计表: - 第1行:初始化循环计数器,不计算。 - 第3行:外层循环 `i`,共执行 `m` 次。 - 第4行:内层循环 `j`,每次迭代会执行 `p+1` 次(包括初始化累加器)。 - 第5行:第三层循环 `k`,在内层循环中执行,共执行 `n` 次。 - 其他行:变量赋值或返回等,不计入主要计算步骤。 执行总步数计算如下: - 外层循环次数:m - 内层循环次数:mp - 第三层循环次数:mpk - 累加和赋值操作:mp + mpk 总步数 = (m+1) + m(p+1) + mp + mp(k+1) + mpk + mp = 2mpk + 4mp + 2m + 1 对于第二个问题,有两个 `MinMax` 函数用于查找数组 `a[0:n-1]` 中的最大元素和最小元素。两者的区别在于第9行的条件判断不同: 1. 第一个函数:当找到更大的元素时更新 `Min`,当找到更小的元素时更新 `Max`。 2. 第二个函数:如果当前元素既不大于 `Min` 也不小于 `Max`,则不做更新。 在最坏情况下(即输入数组完全有序,例如全为正数时),第一个函数中: - 初始化后,`Min` 和 `Max` 分别等于 0 和 1,后续遍历会比较 `(n-1)` 次,因为每个元素至少会被与前一个元素比较一次。 - 总比较次数 = n - 1次 第二个函数: - 初始化后,也会比较一次,但后续遍历时,对于最大值,最多只比 `Min` 多比较一次;对于最小值,最多比 `Max` 多比较一次。 - 在最坏情况下,`Max` 会在遍历过程中被更新为 `n-1`,所以与 `Max` 比较的次数为 `n-2`。 - 总比较次数 = n - 1(初始化)+ (n-2) = 2n - 3次 总结,本作业主要考察了矩阵乘法的算法复杂度计算和查找最大/最小元素的最优比较策略。理解这些基本算法是学习计算机科学和数据结构的基础,对于性能优化和解决实际问题至关重要。在实践中,需要根据具体场景选择合适的算法和数据结构来提高效率。
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