矩阵乘法与查找算法分析：步数计算与比较次数优化

本次作业涉及计算机算法设计与分析中的两个核心概念：矩阵乘法和查找最大/最小元素。首先，我们来看第一个问题，计算矩阵乘法函数的执行步数。 题目要求分析一个模板类函数 `Mult`，它实现了两个矩阵的乘法操作。该函数接受三个参数：两个指向矩阵的指针（`T**a` 和 `T**b`），以及矩阵的维度（`int m`，`int n` 和 `int p`）。函数的主要逻辑是通过三层嵌套循环进行矩阵乘法，具体步骤如下： 1. 外层循环 `i` 遍历第一个矩阵的行（`m` 次）。 2. 内层循环 `j` 遍历第二个矩阵的列（`p` 次），每次循环内部执行： - 初始化累加器 `Tsum` 为 0。 - 第三层循环 `k` 遍历第一个矩阵的列（`n` 次），将 `a[i][k]` 与 `b[k][j]` 相乘并累加到 `sum`。 - 更新结果矩阵 `C[i][j]` 为累加后的值。 根据上述步骤，我们可以构建执行步数统计表： - 第1行：初始化循环计数器，不计算。 - 第3行：外层循环 `i`，共执行 `m` 次。 - 第4行：内层循环 `j`，每次迭代会执行 `p+1` 次（包括初始化累加器）。 - 第5行：第三层循环 `k`，在内层循环中执行，共执行 `n` 次。 - 其他行：变量赋值或返回等，不计入主要计算步骤。 执行总步数计算如下： - 外层循环次数：m - 内层循环次数：mp - 第三层循环次数：mpk - 累加和赋值操作：mp + mpk 总步数 = (m+1) + m(p+1) + mp + mp(k+1) + mpk + mp = 2mpk + 4mp + 2m + 1 对于第二个问题，有两个 `MinMax` 函数用于查找数组 `a[0:n-1]` 中的最大元素和最小元素。两者的区别在于第9行的条件判断不同： 1. 第一个函数：当找到更大的元素时更新 `Min`，当找到更小的元素时更新 `Max`。 2. 第二个函数：如果当前元素既不大于 `Min` 也不小于 `Max`，则不做更新。 在最坏情况下（即输入数组完全有序，例如全为正数时），第一个函数中： - 初始化后，`Min` 和 `Max` 分别等于 0 和 1，后续遍历会比较 `(n-1)` 次，因为每个元素至少会被与前一个元素比较一次。 - 总比较次数 = n - 1次 第二个函数： - 初始化后，也会比较一次，但后续遍历时，对于最大值，最多只比 `Min` 多比较一次；对于最小值，最多比 `Max` 多比较一次。 - 在最坏情况下，`Max` 会在遍历过程中被更新为 `n-1`，所以与 `Max` 比较的次数为 `n-2`。 - 总比较次数 = n - 1（初始化）+ (n-2) = 2n - 3次 总结，本作业主要考察了矩阵乘法的算法复杂度计算和查找最大/最小元素的最优比较策略。理解这些基本算法是学习计算机科学和数据结构的基础，对于性能优化和解决实际问题至关重要。在实践中，需要根据具体场景选择合适的算法和数据结构来提高效率。