动态规划解数字三角形：寻找最大路径和

"数字三角形-动态规划基础讲解" 在计算机科学和算法竞赛中，动态规划是一种常用的方法，用于解决复杂的问题，尤其是那些具有重叠子问题和最优子结构的优化问题。数字三角形问题就是一个典型的动态规划应用实例，它要求找到从三角形顶部到底部的路径，使得路径上所有数字之和最大。 问题描述： 数字三角形是一个由数字构成的倒置三角形结构，每层的数字数量递增。从三角形的顶部开始，每一步只能向下走到相邻的两个数字之一（左边或右边）。目标是找到一条路径，使得经过的数字之和达到最大值。 输入数据： 输入数据首先是一个整数N，表示数字三角形的层数，且1 < N ≤ 100。接下来的N行分别给出了每一层的数字，每层的数字数量与该层的位置相符，且所有数字的范围在0到100之间。 输出要求： 输出结果应为从三角形顶部到底部的最大路径和。 解题思路： 使用动态规划来解决这个问题的关键在于构建一个二维数组，其中D(r, j)表示到达第r行第j列时的最大和。我们需要计算从第r行的第j列到底部的最佳路径和，即MaxSum(r, j)。根据题目，有以下递推关系： MaxSum(r, j) = max{MaxSum(r+1, j), MaxSum(r+1, j+1)} + D[r][j] 这意味着从当前位置(r, j)出发，我们可以选择走D(r+1, j)或D(r+1, j+1)，然后将当前位置的值D[r][j]加上对应路径的最大和。 参考程序I提供了C语言实现的代码框架，其中包含一个递归函数MaxSum()，用于计算MaxSum(r, j)。在主函数中，首先读取输入的N和三角形的数字，然后调用MaxSum(1, 1)来求解问题并输出结果。 在实际编程中，为了避免重复计算同一子问题，通常会采用自底向上的迭代方法，通过填充一个二维数组存储中间结果，从而提高效率。这种方法称为记忆化搜索，避免了递归带来的额外计算和时间开销。 总结来说，数字三角形问题展示了动态规划在解决最优化问题中的力量，通过分解问题，计算并存储子问题的解，最终组合得到原问题的最优解。这种思维方式在解决其他复杂问题，如背包问题、最长公共子序列等，同样有着广泛的应用。