"信息论与编码课后答案,第三版,姜丹著,中国科学技术大学出版社"
在信息论中,自信息量(Self-information)是用来衡量一个事件发生的不确定性或信息量的度量,通常以比特(bits)为单位。在描述的信息中,给出了几个关于离散信源的自信息量计算问题,这些问题都与随机掷骰子的结果相关。下面将对这些知识点进行详细阐述:
1. 自信息量(I(x))定义为:\( I(x) = -\log_b{P(x)} \),其中b是基数,通常是2(对于比特),P(x)是事件x发生的概率。自信息量越大,表示事件越不可能发生,含有更多的信息。
2. (1) "2和6同时出现"的概率是1/36,所以其自信息量为 \( I(\text{"2 and 6"}) = -\log_2{\frac{1}{36}} \approx 5.17 bits \)。
3. (2) "两个5同时出现"的概率也是1/36,因此其自信息量同上,约为5.17 bits。
4. (3) 计算两个点数的各种组合的熵(Entropy, H(X)),熵是信源所有可能事件的自信息的加权平均,反映了信源的平均不确定性。对于两个独立的骰子,每个骰子有6种可能的结果,总共有\( 6 \times 6 = 36 \)种组合。熵为 \( H(X) = -\sum_{i=1}^{n} P(x_i) \log_2{P(x_i)} \)。根据提供的数据,两个骰子点数之和的熵为 \( H(X) \approx 3.24 bits \)。
5. (4) 两个点数之和的分布不同于单个骰子的点数分布,其熵为 \( H(X+Y) \approx 7.13 bits \),这表明观察两个骰子的点数之和比单独观察一个骰子提供了更多信息。
6. (5) "两个点数中至少有一个是1"的自信息量可以通过计算其对立事件的自信息量来得到,即两个点数都不是1的概率,然后用1减去这个概率得到至少一个为1的概率。对立事件的概率是 \( P(\text{neither 1}) = \frac{35}{36} \),所以至少有一个为1的概率是 \( P(\text{at least one 1}) = 1 - \frac{35}{36} = \frac{1}{36} \),其自信息量为 \( I(\text{at least one 1}) \approx 5.17 bits \)。
这些题目展示了如何应用信息论的基本概念,如自信息量和熵,来量化离散随机事件的不确定性和信息含量。在实际的信息传输和数据压缩中,理解这些概念至关重要,因为它们帮助我们理解和优化通信系统的效率。例如,熵可以用来确定信源编码的最佳长度,而自信息量则可以衡量某个特定消息的重要性。在信息论与编码课程中,这些基础概念会进一步扩展到更复杂的信息处理和编码理论,如香农定理、信道容量、数据压缩和错误纠正编码等。