动态规划解广场铺砖问题：状态压缩法

"一个示例-状态压缩类型动态规划" 这个资源主要介绍了一个使用状态压缩动态规划解决的广场铺砖问题。这是一个典型的 ACM ICPC 类型的问题，涉及到算法设计和优化。 问题描述：给定一个 W 行 H 列的广场，需要用 1*2 的小砖铺满，不允许砖块重叠，且 W 和 H 都小于等于 11。任务是计算不同的铺砖方法数量。 **初步分析与尝试**： - 最初的想法可能是使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS），但由于 W 和 H 的限制，当层数达到 11 时，这种方法的时间和空间复杂度都会非常高，无法有效处理。 **进一步分析**： 1. **性质1**：如果 W 和 H 都是奇数，那么没有解。因为每个 1*2 的砖覆盖的面积是 2，奇数面积的广场无法用偶数数量的砖铺满。 2. **性质2**：每次铺设只会改变当前行和下一行的状态，不会影响其他行。 3. **性质3**：每行的铺设方式都是类似的，因为都是使用 1*2 的砖。 **示例**： - 通过一个 6*9 广场的例子，展示在按行铺设过程中，砖块可能会分成两半，但最多向下突出一格。通过改变这种状态，我们可以转移到新的铺设状态。 **状态表示**： - 使用动态规划，将每行的状态表示为一个长度为 W 的 0,1 串，0 表示未铺砖，1 表示已铺砖。例如，状态为 "100100" 表示某行的铺设情况。 **动态规划方法**： - 设 f(i, s) 表示铺到第 i 行，状态为 s 的方案数。 - 初始化 f(1, 0) = 1，表示第一行只有未铺砖这一个状态。 - 最终答案是 f[h+1][0]，即最后一行全为 0 的状态数。 - 时间复杂度为 O(h * 2^W)，因为每行有 2^W 种可能的状态。 **基本位操作**： - 在动态规划过程中，会涉及到对状态 s 进行位操作，例如通过位移和按位或来实现从一个状态转移到另一个状态。 通过状态压缩，我们可以避免构建完整的状态转移树，从而降低空间和时间复杂度。在实际编程中，我们可以通过位运算技巧高效地实现状态之间的转换，进一步优化算法。这个问题展示了动态规划在解决组合优化问题中的应用，以及如何通过状态表示和位运算来简化问题。