根轨迹法详解：绘制规则与系统性能分析

"根轨迹是控制系统的稳定性分析和性能评估的重要工具，通过对开环传递函数中某一参数（如开环增益K）的变化，研究特征方程根在S平面上的运动轨迹。" 在自动控制原理中，根轨迹是一种分析系统动态性能的方法，由W.R.伊文思在1948年提出。它基于控制系统闭环极点的分布与系统参数之间的关系，通过在S平面上描绘出特征方程的根随参数变化的路径，来分析系统的稳定性、暂态响应和稳态响应。 根轨迹的基本规则主要包括： 1. **根轨迹的对称性**： 当系统特征方程的系数为实数时，特征根可以是实数或者共轭复数对。因此，根轨迹在S平面上是对称于实轴的。这意味着，如果一个特征根位于复平面上的某个点，那么它的共轭点也将位于相同的距离，但位于实轴的另一侧。 2. **根轨迹的起点和终点**： 根轨迹的起点对应于开环增益K等于0时特征根的位置，即系统在无反馈时的极点分布。根轨迹的终点则对应于K趋于无穷大时，特征根在S平面上的分布。这有助于理解随着反馈强度的增加，闭环系统的稳定性如何改变。 通过根轨迹分析，我们可以得到以下信息： - **稳定性**：如果根轨迹始终位于S平面的左半部分，那么闭环系统对于所有K值都是稳定的。反之，如果根轨迹穿过S平面的右半部分，系统将变得不稳定。 - **稳态性能**：根轨迹的分布可以帮助判断系统的类型，例如，如果存在一个位于原点的极点，系统被视为I型系统，阶跃响应的稳态误差通常为0。 - **暂态性能**：根轨迹可以揭示系统在不同K值下的动态响应。实根对应于过阻尼系统，特征根重合时为临界阻尼，共轭复根则表示欠阻尼系统，产生衰减振荡。 绘制根轨迹的依据是系统的开环传递函数H(S)G(S)，通过改变其中的参数（如K），解特征方程得到不同K值对应的特征根，然后将这些点连接起来形成根轨迹。这种方法能够直观地显示系统参数变化如何影响闭环系统的动态特性，对于控制系统的设计和优化具有重要意义。 总结来说，根轨迹法是一种直观且实用的分析工具，它揭示了控制系统参数变化对系统稳定性、稳态性能和暂态性能的影响，是经典控制理论中的核心内容。通过对根轨迹的深入理解和熟练应用，工程师可以更好地设计和调整控制系统以满足特定性能要求。