掌握逆元高效算法：费马小定理与扩展欧几里得详解

【逆元六大常用高效算法】是一份针对编程初学者和高级开发者的重要参考资料，涵盖了逆元这一基础概念在计算机科学中的应用。逆元，或称逆元运算，是指对于两个正整数a和m，当满足a乘以某个整数x等于1（模m），其中x是最小正整数解时，我们称x为a模m的逆元。这种概念在密码学、加密算法、线性同余方程组解法等领域具有重要意义。 首先，费马小定理指出，如果c是一个质数，逆元可以通过计算a^(c-2)模c得到，这是快速找到逆元的一种特殊情况。这个定理利用了质数的特性，通过多次幂运算得出结果，体现了快速幂的高效性。 扩展欧几里德算法是求解两个整数的最大公约数（gcd）及其逆元的通用方法，其核心思想是找到使得b*p ≡ 1 (mod c) 的整数p。算法步骤包括将原问题转化为b*p = c*y + 1，然后通过迭代求解，找到合适的p和-y值。这个方法不仅适用于寻找特定模下的逆元，还能解决更广泛的一类数学问题。 通用的“求逆元”方法提供了一个简化公式，即ans = (a/b) mod c = a mod (c*b)/b，通过模运算的性质，简化了逆元的计算过程。这种方法基于整除和模运算的结合，适用于除法能被整除的情况。 循环找解法是一种针对任意模数（不限于素数）的解决方案，特别是当模数较大时，采用这种方法可以避免暴力计算。例如，longlongcircleRun函数通过遍历1到MOD-1，寻找第一个满足i*n模MOD等于1的i，作为n的逆元，如果找不到则返回-1。 预处理1到n关于p的逆元是一个优化策略，利用了逆元的积性性质，即如果p大于n，只要求出n对p的逆元即可，这对于在特定范围内高效计算非常有用，尤其是在p不是素数的情况下。 这份资料详细介绍了逆元概念的多个实用算法，包括费马小定理、扩展欧几里德算法、通用求逆元公式以及循环查找和预处理技巧，对于理解和实现高效的逆元计算提供了宝贵的学习资源。无论是在竞赛编程、密码学还是日常的代码实现中，掌握这些算法都能大大提高工作效率。