无网格方法与最小二乘法在数值模拟中的应用

"本书深入探讨了无网格移动最小二乘法形函数，涵盖了无网格方法的基本原理、不同无网格方法的对比以及它们在实际应用中的实现。书中介绍了一系列新型无网格方法，包括最小二乘配点法、加权最小二乘法、伽辽金最小二乘法和伽辽金配点法，并提供了C++编程实现的面向对象无网格法程序OMLL。此外，书中还附带MATLAB程序实例，以便读者理解和实践这些方法。这本书特别适合航空航天、力学、机械、土木工程以及水利工程领域的技术人员和相关专业的大四学生、研究生及教师阅读。" 无网格法是一种数值分析技术，用于解决偏微分方程，特别是在复杂几何形状和非均匀介质中的问题。它不同于传统的有限差分和有限元方法，因为无网格法不依赖于规则的网格结构，而是采用自由节点分布来逼近解空间，这使得它在处理不规则边界和局部精细网格时具有优势。 移动最小二乘法（MLS）是无网格方法的一种，它通过构建基于局部多项式拟合的形函数来实现离散化。形函数的构造依赖于节点周围的邻域支持，通过最小化残差平方和来确定这些函数。在书中的例子中，1维MLS近似被用来演示这种方法，程序使用MATLAB语言编写，计算了形函数、形函数的一阶导数和二阶导数，并进行了曲线拟合。 在1D MLS近似中，定义了一个区间[l, l]，并使用等距节点生成坐标xi。随后，设置评估点x，计算每个节点的支持半径（在这里是节点间距的三倍），然后在所有评估点上计算MLS形函数、其一阶导数和二阶导数。这些形函数被用于近似一个已知函数，例如sin函数，通过形函数值矩阵与节点函数值矩阵的乘积得到近似解。最后，计算了近似函数和精确解之间的相对误差，以及近似函数一阶导数的相对误差，以评估方法的精度。 通过这种详细的讲解和实例，本书不仅介绍了无网格方法的基本概念，还提供了实用的编程工具，使读者能够掌握并应用这些高级数值技术。对于希望深入了解无网格法及其应用的读者来说，这是一份宝贵的资源。