W距离详解与WGAN中的应用：从最优传输到 Wasserstein距离

W距离，也被称为Wasserstein距离，是一种重要的概率论与优化理论中的概念，它在生成对抗网络（GANs）尤其是 Wasserstein GAN（WGAN）中扮演着核心角色。Wasserstein距离旨在衡量两个概率分布之间的“最优运输成本”，即在不增加成本的情况下，将一个分布的元素转移到另一个分布所需的最小努力。这个概念起源于18世纪的数学问题，最初由法国数学家Monge提出，用于描述土堆搬运问题，随后由Kantorovich推广为更易于解决的线性形式。 在WGAN中，W距离被用来替代传统的Jensen-Shannon散度或KL散度作为损失函数，因为Wasserstein距离更能捕捉分布的结构和形态，尤其在处理高维数据时表现优异。相比于f-divergence（如KL散度）依赖于某个凸函数f，Wasserstein距离直接考虑了实际的物质移动成本，因此它能更好地避免梯度消失和模式崩溃等问题。 Wasserstein距离的计算通常涉及到求解一个优化问题，特别是对于高维空间，这可能变得复杂。在有限维情况下，例如一维空间且使用L1距离作为基底距离，Wasserstein距离可以简化计算。然而，计算Wasserstein距离仍然是一个挑战，特别是在大规模数据集或高维空间中，为此，研究人员发展了各种近似方法，如Sinkhorn算法或Earth Mover's Distance（EMD）的优化版本。 在实际应用中，引用WGAN时，通常会提到它是基于Wasserstein距离的生成模型，强调其对连续分布的生成能力和稳定性。WGAN的训练过程通常涉及优化Wasserstein距离和其梯度，通过一个称为“critic”或“判别器”的网络来估计分布间的差距，同时更新生成器网络以尽可能地降低这个距离。这使得WGAN在图像生成、文本生成等领域表现出色，尤其是在对抗样本检测和生成方面。 Wasserstein距离与WGAN的关系是紧密的，它提供了更精确的分布比较和生成模型指导，为深度学习中的生成任务提供了新的可能性。理解和掌握Wasserstein距离的理论和计算技巧对于深入研究和实践WGAN至关重要。