范数,矩阵算子范数,矩阵范数_二范数不等式性质 - CSDN文库

范数,矩阵算子范数,矩阵范数

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什么是范数

在介绍主题之前，先来谈一个非常重要的数学思维方法：几何方法。在大

学之前，我们学习过一次函数、二次函数、三角函数、指数函数、对数函数

等，方程则是求函数的零点；到了大学，我们学微积分、复变函数、实变函

数、泛函等。我们一直都在学习和研究各种函数及其性质，函数是数学一条重

要线索，另一条重要线索——几何，在函数的研究中发挥着不可替代的作用，

几何是函数形象表达，函数是几何抽象描述，几何研究“形”，函数研究“数”，它

们交织在一起推动数学向更深更抽象的方向发展。

函数图象联系了函数和几何，表达两个数之间的变化关系，映射推广了函

数的概念，使得自变量不再仅仅局限于一个数，也不再局限于一维，任何事物

都可以拿来作映射，维数可以是任意维，传统的函数图象已无法直观地表达高

维对象之间的映射关系，这就要求我们在观念中，把三维的几何空间推广到抽

象的 n 维空间。

由于映射的对象可以是任何事物，为了便于研究映射的性质以及数学表

达，我们首先需要对映射的对象进行“量化”，取定一组“基”，确定事物在这组基

下的坐标，事物同构于我们所熟悉的抽象几何空间中的点，事物的映射可以理

解为从一个空间中的点到另一个空间的点的映射，而映射本身也是事物，自然

也可以抽象为映射空间中的一个点，这就是泛函中需要研究的对象——函数。

从一个线性空间到另一个线性空间的线性映射，可以用一个矩阵来表达，

矩阵被看线性作映射，线性映射的性质可以通过研究矩阵的性质来获得，比如

矩阵的秩反映了线性映射值域空间的维数，可逆矩阵反映了线性映射的可逆，

而矩阵的范数又反映了线性映射的哪些方面的性质呢？矩阵范数反映了线性映

射把一个向量映射为另一个向量，向量的“长度”缩放的比例。

范数是把一个事物映射到非负实数，且满足非负性、齐次性、三角不等

式，符合以上定义的都可以称之为范数，所以，范数的具体形式有很多种（由

内积定义可以导出范数，范数还也可以有其他定义，或其他方式导出），要理

解矩阵的算子范数，首先要理解向量范数的内涵。矩阵的算子范数，是由向量

范数导出的，由形式可以知：

由矩阵算子范数的定义形式可知，矩阵 A 把向量 x 映射成向量 Ax，取其在向

量 x 范数为 1 所构成的闭集下的向量 Ax 范数最大值作为矩阵 A 的范数，即矩

阵对向量缩放的比例的上界，矩阵的算子范数是相容的。由几何意义可知，矩

阵的算子范数必然大于等于矩阵谱半径（最大特征值的绝对值），矩阵算子范

数对应一个取到向量 Ax 范数最大时的向量 x 方向，谱半径对应最大特征值下

的特征向量的方向。而矩阵的奇异值分解 SVD，分解成左右各一个酉阵，和拟

对角矩阵，可以理解为对向量先作旋转、再缩放、最后再旋转，奇异值，就是

缩放的比例，最大奇异值就是谱半径的推广，所以，矩阵算子范数大于等于矩

阵的最大奇异值，酉阵在此算子范数的意义下，范数大于等于 1。此外，不同

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