快速傅立叶变化 FFT
一.实验目的
1.掌握用窗函数法设计FFT 快速傅里叶的原理和方法;
2.熟悉FFT 快速傅里叶特性;
3.了解各种窗函数对快速傅里叶特性的影响。
二.实验原理
1.FFT 的原理和参数生成公式:
FFT 并不是一种新的变换,它是离散傅立叶变换(DFT)的一种快速算法。由于我们在计
算DFT 时一次复数乘法需用四次实数乘法和二次实数加法;一次复数加法则需二次实数加
法。每运算一个X(k)需要4N 次复数乘法及2N+2(N-1)=2(2N-1)次实数加法。所以
整个DFT运算总共需要4N^2次实数乘法和N*2(2N-1)=2N(2N-1)次实数加法。如此一来,
计算时乘法次数和加法次数都是和N^2成正比的,当N很大时,运算量是可观的,因而需
要改进对DFT 的算法减少运算速度。
根据傅立叶变换的对称性和周期性,我们可以将DFT运算中有些项合并。
我们先设序列长度为N=2^L,L 为整数。将N=2^L 的序列x(n)(n=0,1,……,N-1),按
N的奇偶分成两组,也就是说我们将一个N 点的DFT 分解成两个N/2 点的DFT,他们又重
新组合成一个如下式所表达的N 点DFT:
一般来说,输入被假定为连续的。当输入为纯粹的实数的时候,我们就可以利用左右对称
的特性更好的计算DFT。
我们称这样的RFFT 优化算法是包装算法:首先2N 点实数的连续输入称为“进包”。其次N
点的FFT 被连续运行。最后作为结果产生的N 点的合成输出是“打开”成为最初的与DFT 相
符合的2N 点输入。
使用这一思想,我们可以划分FFT 的大小,它有一半花费在包装输入O(N)的操作和打
开输出上。这样的RFFT 算法和一般的FFT 算法同样迅速,计算速度几乎都达到了两次
DFT的连续输入。
2.库利-图基算法
Cooley-Tukey 算法是最常见的 FFT 算法。这一方法以分治法为策略递归地将长度为 N
= N1N2 的 DFT 分解为长度分别为 N1 和 N2 的两个较短序列的 DFT,以及与个旋转因
子的复数乘法。
这种方法以及 FFT 的基本思路在 1965 年 J.W.Cooley 和 J.W.Tukey 合作发表 An
algorithm for the machine calculation of complex Fourier series 之后开始为人所知。
但后来发现,实际上这两位作者只是重新发明了高斯在 1805 年就已经提出的算法(此算
法在历史上数次以各种形式被再次提出)。
Cooley-Tukey算法最有名的应用,是将序列长为N 的DFT分割为两个长为N/2 的子序
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