ii Contents
3.3.1 Homogeneous Transformation Matrices . . . . . . . . . . 89
3.3.2 Twists . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.3.3 Exponential Coordinate Representation of Rigid-Body Mo-
tions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.4 Wrenches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.6 Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.7 Notes and References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4 Forward Kinematics 137
4.1 Product of Exponentials Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.1.1 First Formulation: Screw Axes in the Base Frame . . . . 141
4.1.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.1.3 Second Formulation: Screw Axes in the End-Effector Frame148
4.2 The Universal Robot Description Format . . . . . . . . . . . . . 152
4.3 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.4 Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.5 Notes and References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5 Velocity Kinematics and Statics 171
5.1 Manipulator Jacobian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.1.1 Space Jacobian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.1.2 Body Jacobian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.1.3 Visualizing the Space and Body Jacobian . . . . . . . . . 185
5.1.4 Relationship between the Space and Body Jacobian . . . 187
5.1.5 Alternative Notions of the Jacobian . . . . . . . . . . . . 187
5.1.6 Looking Ahead to Inverse Velocity Kinematics . . . . . . 189
5.2 Statics of Open Chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
5.3 Singularity Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.4 Manipulability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
5.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
5.6 Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
5.7 Notes and References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
5.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6 Inverse Kinematics 219
6.1 Analytic Inverse Kinematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
6.1.1 6R PUMA-Type Arm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
6.1.2 Stanford-Type Arms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
May 2017 preprint of Modern Robotics, Lynch and Park, Cambridge U. Press, 2017. http://modernrobotics.org
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