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水塔水流量的估计美国建模题

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此论文是关于水塔水流量的计算，内涵matlab源程序，详细的介绍了求解过程。

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数学实验 MATLAB

水塔水流量的估计

一．实验问题

美国某州的用水管理机构要求各社区提供以每小时多少加仑计的用水量以及每天所用

的总水量。许多社区没有测量流入或流出水塔水量的装置，只能代之以每小时测量水塔中

的水位，其误差不超过 5%。但水塔每天有一次或两次的水泵供水，每次约两小时。当水塔

中的水位下降到最低水位 L 时，水泵就自动向水塔输水直到最高水位 H。此期间不能测量

水位，现在已知该水塔是一个高 40ft,直径 57ft 的正圆柱。某小镇一天水塔水位的记录数据

如下表：

时间（s）水位(ft) 时间（s）水位（ft）

0 31.75 46636 33.50

3316 31.10 49953 32.60

6635 30.54 53936 31.67

10619 29.94 57254 30.87

13937 29.47 60574 30.12

17921 28.92 64554 29.27

21240 28.50 68535 28.42

25223 27.95 71854 27.67

28543 27.52 75021 26.97

32284 26.97 79254

水泵开启

35932

水泵开启

82649

水泵开启

数学实验 MATLAB

39332

水泵开启

85968 34.75

39435 35.50 89953 33.97

43318 34.45 93270 34.40

其中水位降至约 27ft 水泵开始工作，水位升到 35.50ft 时停止工作。（注

1ft=0.3048m）试估计任何时刻 t（包括水泵工作时间）从水塔流出的水流量

Q(t)，并估计一天的总水量。

二．问题分析

根据以上数据的形式和以往经验，适合采用线性拟合的方式进行数据处理。

对第 1、2、3 未供水时段可直接进行用五次多项式进行拟合。对第 1、2 供水时

段分别在两端各取两个点用前后时刻的流速拟合得到。结果可以用分段函数表

示分为 5 段，分别是第一未供水时段，第一供水时段，第二未供水时段，第二

供水时段，第三未供水时段。

得出流速之后再乘以水塔横截面积即得任何时刻与水塔流出水流量的关系，

即流速与时间的关系。对流速进行分段积分并求和，即得一天的总水流量。

三．程序的设计与求解方法

1.数据的单位转换

时间（h）水位（m）时间（h）水位（m）

0 9.6774 12.95 10.2108

0.92 9.4793 13.88 9.9365

1.84 9.3086 14.98 9.6530

2.95 9.1257 15.90 9.4092

数学实验 MATLAB

3.87 8.9825 16.83 9.1806

4.98 8.8148 17.93 8.9215

5.90 8.6868 19.04 8.6624

7.00 8.5192 19.96 8.4338

7.93 8.3881 20.84 8.2205

8.97 8.2205 22.02

水泵开启

9.98

水泵开启

22.90

水泵开启

10.93

水泵开启

23.88 10.5918

10.95 10.8204 24.99 10.3541

12.03 10.5004 25.91 10.1803

水塔的横截面积为 A=（57*0.3048）^2*pi/4=237.0661(平方米)。

2.拟合水位——时间函数

（1）对第 1 未供水时段的数据进行拟合。

t=[0 0.92 1.84 2.90 3.87 4.98 5.90 7.00 7.93 8.97 10.95 12.03

12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 19.04 19.96 20.84 23.88

24.99 25.91]

h=[ 9.6774 9.4793 9.3086 9.1257 8.9825 8.8148 8.6868 8.5192

8.3881 8.2205 10.8204 10.5004 10.2108 9.9365 9.6530 9.4092

9.1806 8.9215 8.6624 8.4338 8.2205 10.5918 10.3541 10.1803]

f1=polyt(t(1:10),h(1:10),5);

tm1=0:0.1:9.0;

y1=polyval(f1,tm1);

plot(tm1,y1)

数学实验 MATLAB

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

8.2

8.4

8.6

8.8

9.2

9.4

9.6

9.8

（2）对第 2 未供水时段的数据进行拟合。

f2=polyt(t(11:21),h(11:21),5);

tm2=10.9:0.1:20.9;

y2=polyval(f2,tm2);

plot(tm2,y2)

剩余16页未读，继续阅读

数学模型水塔流量问题解法

某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可通过测量其水位来估计水的流量，但面临的困难是：当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定最高水位时又停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水两次，每次约2小时.不妨设水塔是一高为12.2m、直径为17.4m的圆柱形。按设计，水位降至约8.2m时水泵自动启动，水位升至10.8m时水泵停止工作。下表是某天的水位测量记录（*表示水泵启动）。试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量及一天的总用水量。

建模实例：水塔水流量估计

A题：水塔的水流量估计美国某州的各用水管理机构要求各社区提供以每小时多少加伦计算的用水率以及每天所用的总水量。许多社区没有测量流入或流出水塔的水量装置，他们只能代之以每小时测量水塔中的水位，其误差不超过0.5%。更重要的是，当水塔中的水位下降到最低水位L时水泵就启动向水塔输水，直到最高水位H，但也不能测量水泵的供水量。因此，当水泵在输水时不容易建立水塔中水位和水泵工作时用水量之间的关系。水泵每天输水一次或两次，每次约二小时。试估计任意时刻（包括水泵在输水工作的时候）从水塔流出的流量f（t），并估计一天的总水量。附表给出了某个小镇一天中真实的数据。附表给出了从第一次测量开始的以秒为单位的时刻，以及该时刻的高度单位为百分之一英尺的水位测量值。例如，3316秒后，水塔中水位达到31.10英尺，水塔是一个高为40英尺，直径为57英尺的正圆柱。通常当水塔降至约27.00英尺时水泵开始工作，当水位升到35.50英尺时水泵停止工作。某小镇某天的水塔水位时间(秒) 水位 (0.01英尺) 时间(秒) 水位 (0.01英尺) 时间(秒) 水位 (0.01英尺) 0 3 175 35 932 水泵工作 68 535 2 842 3 316 3 110 39 332 水泵工作 71 854 2 767 6 635 3 054 39 435 3 550 75 021 2 697 10 619 2 994 43 318 3 445 79 154 水泵工作 13 937 2 947 46 636 3 350 82 649 水泵工作 17 921 2 892 49 953 3 260 85 968 3 475 21 240 2 850 53 936 3 167 89 953 3 397 25 223 2 797 57 254 3 087 93 270 3 340 28 543 2 752 60 574 3 012 32 284 2 697 64 554 2 927

估计水塔的水流量(1991A)

用数学建模的方式列出水泵的功率方程，问题提出：某居民区有一供居民用水的园柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量，但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量．通常水泵每天供水一两次，每次约两小时. 水塔是一个高12.2米，直径17.4米的正园柱．按照设计，水塔水位降至约8.2米时，水泵自动启动，水位升到约10.8米时水泵停止工作．表1 是某一天的水位测量记录表1水位测量记录(符号//表示水泵启动) 时刻(h) 0 0.92 1.84 2.953.87 4.98 5.90 7.01 7.938.97 水位(cm) 968 948931913898881 869 852839822 时刻(h) 9.98 10.92 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 水位(cm) // 108210501021994965941918.892 时刻(h) 19.04 19.9620.84 22.01 22.96 23.88 24.99 25.91 水位(cm) 866 843 822 //// 105910351018

水泵的功率和水流量之间存在以下关系： $$P=\rho ghQ$$ 其中，$P$ 表示水泵的功率，$\rho$ 表示水的密度，$g$ 表示重力加速度，$h$ 表示水的高度差，$Q$ 表示水的流量。根据题目描述，当水位从8.2米升到10.8米时...

问题提出：某居民区有一供居民用水的园柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量，但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量．通常水泵每天供水一两次，每次约两小时. 水塔是一个高12.2米，直径17.4米的正园柱．按照设计，水塔水位降至约8.2米时，水泵自动启动，水位升到约10.8米时水泵停止工作．表1 是某一天的水位测量记录表1水位测量记录(符号//表示水泵启动) 时刻(h) 0 0.92 1.84 2.953.87 4.98 5.90 7.01 7.938.97 水位(cm) 968 948931913898881 869 852839822 时刻(h) 9.98 10.92 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 水位(cm) // 108210501021994965941918.892 时刻(h) 19.04 19.9620.84 22.01 22.96 23.88 24.99 25.91 水位(cm) 866 843 822 //// 105910351018

为了更准确地估计水泵供水量，可以考虑通过其他手段获取水塔水位数据。例如，可以在水塔内部安装水位传感器，并通过传感器将实时水位数据传输到控制中心。或者在水塔外部安装水位监测设备，如超声波水位计或压力式...

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其中，$\rho$为水的密度，$g$为重力加速度，$Q$为流量，$H$为扬程，$\eta$为泵的效率。由于题目未给出泵的效率，我们假设其为$80\%$。代入数据，可以计算出水泵的工作功率： $P \approx 7.3 kW$ 因此，水泵的工作...

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