三角域上三阶T-Bézier曲面设计与性质分析

"这篇论文详细探讨了在计算机辅助几何设计(CAGD)领域，如何构建和设计三角域上的三阶T-Bézier曲面片。文章着重于非多项式空间中的T-Bézier曲面造型，特别是对于张量积形式的曲面的扩展，旨在解决复杂形状和边界不规则的产品几何造型问题。它还关注了如何处理椭圆弧和圆弧的精确边界表示，这是通过使用有理Bézier曲面或NURBS来解决的，但这些方法存在权因子选择、重新参数化和计算复杂性的问题。" 在计算机辅助几何设计(CAGD)中，T-Bézier曲线和曲面因其灵活性和易于控制的特性而受到广泛研究。传统的Bézier曲线和曲面基于多项式空间，但近年来，非多项式空间的拟Bézier曲线曲面造型方法逐渐引起重视。尽管如此，多数研究仍集中在张量积形式的曲面上，这限制了其在处理不规则形状时的适用性。 论文指出，三角域上的Bernstein-Bézier参数曲面方法对于处理复杂的几何形状和边界条件尤为有效，尤其在处理散乱数据的曲面插值时。然而，基于多项式的三角域曲面无法精确地表示椭圆弧和圆弧的边界。有理Bézier曲面和NURBS（Non-Uniform Rational B-Spline）虽可解决这一问题，但它们的权因子选择、重新参数化以及计算上的复杂性依然是待解决的挑战。 论文作者受之前研究的启发，如将五阶三角多项式推广到三角域和代数三角基函数的三角域推广，他们构建了一组适用于三角域的类二次Bernstein基函数，并定义了相应的二次T-Bézier三角曲面片。这些新构造的基函数满足正性、权性、对称性、边界性质和线性无关性，从而确保了曲面的特性。作者进一步分析和证明了这些基函数和曲面片的性质，并通过实例展示了它们在实际应用中的效果。 这项工作为非多项式函数在三角域上的应用开辟了新的道路，特别是在构造更高级别的T-Bézier曲面片方面，这有助于解决边界表示的精确性和计算效率问题，为复杂几何形状的建模提供了新的工具。通过这种方式，可以更有效地处理具有椭圆弧和圆弧的边界，同时简化权因子的选择和参数化过程，降低了计算复杂性，从而在CAGD领域推动了技术的进步。