C语言实现高斯消元法解线性方程组

"高斯消元法是一种求解线性方程组的数学方法，通过一系列行变换将系数矩阵转化为阶梯形或简化阶梯形矩阵，从而求得方程组的解。该程序是用C语言实现的高斯消元法，包括输入线性方程组、进行行变换以及计算解的过程。" 在高斯消元法中，我们首先设定一个目标，即解决形如 Ax = b 的线性方程组，其中A是一个n×n的系数矩阵，x是n个变量的列向量，b是常数项列向量。该方法通过以下步骤进行： 1. **输入线性方程组**：程序首先提示用户输入方程组的大小（n）和每个方程的系数及常数项。这通过`scanf()`函数完成，用户逐行输入每一列的值。 2. **初始化矩阵**：程序定义了一个二维数组A来存储系数矩阵和常数项，以及一个一维数组x来存储解向量。 3. **行变换**：高斯消元的核心在于行变换，包括交换行（change函数）和行倍加（内层循环中的乘除操作）。交换行是为了保持主元素（当前行最大元素）在主对角线上，行倍加用于消除非主对角线元素，使得矩阵变为阶梯形。 - `mymax(k)`函数用于找到第k行的最大元素。 - 如果第k行的最大元素为0，说明方程组无唯一解（奇异矩阵），程序会输出错误提示并结束。 - 如果最大元素不位于第k行，通过`change(f, k)`函数交换行。 - 接下来，对于k+1到n的每一行，使用行倍加消去第k列的元素，使得A[i][k] = 0，i > k。 4. **回代求解**：经过行变换后，矩阵变为简化阶梯形，最后一行的解可以直接读出（x[n] = A[n][n+1] / A[n][n]）。然后，从最后一行向上，利用已知的下一行解计算当前行的解（x[k]），直到所有解都求出。 5. **输出结果**：最后，程序会打印出每个变量的解。 这个C语言程序实现了高斯消元法的基本逻辑，但需要注意的是，实际应用中可能需要考虑数值稳定性、矩阵条件数等因素，以避免由于浮点运算误差导致的计算问题。此外，为了处理更复杂的情况，可以扩展此程序以支持矩阵的列主元选择和部分 pivoting 策略，以提高算法的鲁棒性。