偏爱依恋与广义波利亚 urn 模型：理论分析与概率极限

本研究论文探讨了一种结合优先依恋和广义Pólya翁模型（generalized Pólya's urn model）的概念，这是一种在复杂网络形成过程中常见的随机过程。在该模型中，每一步新加入的节点，被称为先锋顶点，会依据其与现有节点的连接关系决定连接策略。它们以一个被称为强化函数的规则，与现有顶点的度数成比例的概率与之相连，这个函数允许与每个顶点特定的特性相关联。 论文的核心内容主要集中在以下几个方面： 1. 优先依恋机制：这种机制强调新加入的节点更可能连接到已经存在的、度数较高的顶点，体现了现实世界中网络结构如社交网络中“赢家通吃”现象的数学建模。 2. 模型阶段划分：研究表明，根据强化函数的不同，模型可以划分为最多三个阶段。具体阶段的数量和性质取决于强化函数的具体形式，即使不假设函数的单调性，也能得出这样的结论。 3. 顶点集结构分析：对于无限基数的顶点集合，论文证明了集合要么为空，要么只包含一个先锋顶点，或者包含所有先锋顶点。这揭示了模型在增长和稳定性的关键特性。 4. 相变分析：当所有顶点的强化函数相同时，论文探讨了系统的行为变化，即可能出现的相变现象，这对于理解网络的全局行为至关重要。 5. 特殊情况下的概率估计：针对度数趋向无穷大的单个顶点，论文给出了它最终成为先锋顶点的概率下界，这一结果依赖于对边缘增强随机游走的鲁宾构造的推广以及布朗运动嵌入的理论。 6. 论文性质与发布声明：作为工作论文，作者们强调观点为个人观点，旨在促进讨论和反馈，因此引用时需考虑其暂行性和初步性。 这篇论文提供了一个深入的数学框架，用于理解优先依恋原则如何影响广义Pólya翁模型的动态演化，以及在不同强化函数条件下可能出现的网络结构和行为特征。这项研究对于网络科学和复杂系统理论具有重要的理论价值。