图的存储结构：邻接表、关联矩阵与邻接压缩表

"本文介绍了图的基本概念以及存储边信息的三种数据结构：邻接表、关联矩阵和邻接压缩表，涉及图论的相关知识。" 在图论中，图是一种重要的数据结构，用于表示对象之间的关系。一个图G由节点集V和边集E组成，可以表示为G=(V,E)。节点，也称为顶点，通常用整数1到n标记。边是连接两个节点的关系，可以用无序数对（u，v）表示，也可以简写为u-v。节点的度数是指与其相连的边的数量。在简单图中，不允许存在自环（边的两端是同一个节点）和重边（多条边连接同一对节点）。如果图中任意两个节点间都有路径，那么图是连通的；否则，它是非连通的，包含若干个连通分量。 图可以分为几类：无向图和有向图、无权图和加权图、稀疏图和稠密图。无向图中的边没有方向，而有向图的边是有方向的，用有序数对表示。无权图不包含任何权重信息，而加权图的边或节点带有特定的权重，如距离或成本。稀疏图是边相对较少的图，稠密图则是边数量接近于最大可能值的图。 图的存储结构主要有三种： 1. 邻接表：对于每个节点，邻接表存储与其相连的所有节点。这种结构在处理稀疏图时效率较高，因为它只存储实际存在的边。 2. 关联矩阵：这是一个二维数组，其中的元素表示节点间是否存在边。如果图是有向的，矩阵是对称的；如果是无向的，矩阵是对称且对角线上的元素为0。关联矩阵适用于处理节点数量较小的图，因为其空间利用率较高，但对稀疏图来说，可能会浪费大量空间。 3. 邻接压缩表：这是一种优化的邻接表，特别适合处理有向图，尤其是有向无环图(DAG)。它通过将邻接节点连续存储，进一步减少了空间需求。 路径和圈是图的重要概念。路径是一系列相邻的节点，圈是起点和终点相同的路径。图还可以进一步细分为完全图、补图、树、森林、生成树、平面图、二分图、相交图和区间图等，每种类型都有其独特的性质和应用。 理解这些基本概念和数据结构对于理解和操作图至关重要，它们在算法设计、网络分析、数据建模等领域都有广泛的应用。例如，搜索算法（如深度优先搜索和广度优先搜索）通常基于这些数据结构，而最小生成树问题、最短路径问题等经典算法也依赖于对图的理解。