矩阵速查手册：基础知识与常用关系

"The Matrix Cookbook" 是一份集合了矩阵及其相关概念的基本知识、公式、近似值、不等式和关系的参考文档，旨在为需要快速查找矩阵信息的用户提供便利。该文档由Kaare Brandt Petersen和Michael Syskind Pedersen编撰，版本更新至2005年10月3日。 在矩阵理论中，矩阵是线性代数的基础，它由有序的数列组成，通常用大写字母表示。这份Cookbook涵盖了以下主要知识点： 1. **矩阵的定义与运算**：矩阵是由相同数量行和列的数构成的矩形阵列。基本的矩阵运算包括加法、减法和标量乘法。当两个矩阵尺寸相同时，可以进行矩阵加法和减法。标量乘法是将一个常数乘以整个矩阵。 2. **矩阵乘法**：矩阵乘法的规则更为复杂，要求一个矩阵的列数与另一个矩阵的行数相等。矩阵乘法不满足交换律，但满足结合律和分配律。 3. **逆矩阵**：方阵（行数等于列数的矩阵）若有逆矩阵，则逆矩阵满足乘法的逆元性质。逆矩阵可以通过高斯-约旦消元法或者伴随矩阵求得。 4. **行列式**：对于方阵，行列式是一个标量值，它可以用来判断矩阵是否可逆。行列式的值为0意味着矩阵不可逆。 5. **特征值与特征向量**：线性变换在特定向量上的效果可以用特征值和特征向量来描述。特征值乘以其对应的特征向量等于原矩阵作用于该向量的结果。 6. **秩**：矩阵的秩定义为矩阵列向量或行向量张成的空间的维度。它反映了矩阵的线性独立性。 7. **矩阵分解**：包括但不限于主对角化（对角化）、奇异值分解（SVD）、Cholesky分解、QR分解等，这些分解在数值分析和工程问题中具有广泛应用。 8. **近似与不等式**：Cookbook中可能包含了一些关于矩阵范数、条件数以及矩阵不等式的近似值和界限。 9. **应用领域**：矩阵理论广泛应用于物理学、工程学、计算机科学、经济学等领域，例如在系统控制、图像处理、机器学习和优化问题中。 尽管这份文档可能存在错误和疏漏，作者欢迎所有用户通过电子邮件（cookbook@2302.dk）提供纠正和建议。作者特别感谢那些参与讨论和贡献的人。 《矩阵Cookbook》是一个宝贵的资源，适合研究人员、学生和任何需要快速查阅矩阵知识的读者。它不仅是学习和工作的实用工具，也是深化理解矩阵理论的重要参考资料。