EM算法详解与非监督学习应用

EM算法是一种重要的迭代优化方法，在机器学习领域中尤其在非监督学习和高斯混合模型（GMM）中有着广泛应用。它最初由李航在教学材料中介绍，主要用于解决那些含有未观测隐变量的问题，如在三硬币模型中的参数估计。 在三硬币模型中，我们有三个硬币A、B、C，每个硬币都有各自的正面概率π、p、q。通过观察一系列结果，我们无法直接得知硬币A的掷出情况，只能看到最终的观测结果。这个问题可以通过建立一个生成模型来解决，其中观测变量Y表示结果（1或0），隐变量z表示硬币A的掷出状态。通过最大化似然函数，EM算法试图找到这些参数的估计值。EM算法的核心在于E步（Expectation Step）和M步（Maximization Step）： 1. E步：根据当前参数估计，计算在给定观测数据yi下，隐变量z的条件概率分布。 2. M步：利用E步的结果，更新模型参数的估计值，使得条件分布下的联合概率最大化。 算法的迭代过程通常从一个初始估计开始，例如π^(0), p^(0), q^(0)，然后通过以下步骤进行： - 对于给定的观测数据Y，计算Q函数，它是完全数据对数似然函数关于隐变量条件概率的期望。 - 证明每次迭代都会增加似然函数或者达到局部最大值，直到满足停止条件（通常是迭代次数达到预定值或连续多次迭代变化小于某个阈值）。 - EM算法导出过程中，通过比较观测数据和隐变量数据的似然函数，利用Jason不等式（即上界和下界的差）来证明EM方法的有效性，通过迭代逼近极大似然估计。 在非监督学习中，如生成模型的训练，EM算法允许我们在没有明确监督的情况下估计潜在结构和概率分布，这对于聚类分析和密度估计等任务非常有用。生成模型的联合概率分布P(X,Y)反映了数据背后的生成过程，而EM算法在这个过程中扮演了关键角色，帮助我们从观测数据中挖掘潜在的信息。 EM算法是一种强大的工具，通过巧妙地处理未观测数据，为解决复杂的数据建模和估计问题提供了有效的方法。其在理论和实践中的应用广泛，尤其是在高斯混合模型和非监督学习中的应用尤为显著。理解并掌握EM算法的原理和操作对于从事机器学习的研究和实践至关重要。