机器人运动学：坐标变换与旋转矩阵解析

"这篇文档详细介绍了机器人运动学中的位姿描述和齐次变换，特别是坐标B相对于坐标A的旋转矩阵。文档提到了机器人通常被建模为由多个关节串联而成的开环关节链，用于操纵物体。重点在于研究机器人末端执行器的位置和姿态与关节变量之间的关系。此外，还讨论了刚体位姿的描述方法，包括位置矢量和旋转矩阵，以及齐次坐标和齐次变换在描述刚体位姿中的应用。" 正文: 在机器人技术中，运动学是研究机器人机构运动的理论基础。它关注的是机器人手臂末端执行器在固定参考坐标系中的位置和姿态，如何与各个关节的角度变化，即关节变量，相互关联。机器人通常被建模为一个由多个驱动器控制的转动或移动关节组成的开环关节链，一端固定在基座上，另一端则是自由的，用于执行不同的任务，如抓取或搬运零件。 位姿是描述刚体在三维空间中状态的关键概念，它包含了刚体参考点的位置和刚体相对于某个参考坐标系的姿态。位置通常通过位置矢量来表示，这是一个3x1的列向量，包含在直角坐标系{A}中点P的x、y、z坐标分量。而姿态描述则涉及到刚体相对于参考坐标系的旋转，可以采用多种方法来表示，包括齐次变换法、矢量法、旋量法和四元数法。 旋转矩阵是描述刚体旋转的一种常用方法，它是一个3x3的正交矩阵，表示坐标系B相对于坐标系A的旋转。旋转矩阵的每一列对应坐标系B的三个正交单位向量，它们在坐标系A中的投影。当刚体绕不同轴旋转时，旋转矩阵可以通过将对应的旋转矩阵逐个相乘得到。例如，如果刚体首先绕x轴旋转θx，然后绕y轴旋转θy，最后绕z轴旋转θz，那么总的旋转矩阵R可以通过以下方式计算： \[ R = R_z(\theta_z)R_y(\theta_y)R_x(\theta_x) \] 其中，Rx, Ry, Rz分别表示绕x、y、z轴的旋转矩阵，θx, θy, θz是相应的旋转角度。旋转矩阵满足以下性质：正交性（即其逆矩阵等于其转置，即\( R^TR = RR^T = I \)，其中I是单位矩阵），并且行列式的值为1（表明它保持了长度不变）。 齐次坐标和齐次变换在描述刚体位姿时提供了额外的灵活性。齐次坐标是将位置矢量和旋转矩阵结合到一个4x4的齐次变换矩阵T中，形式为： \[ T = \begin{bmatrix} R & p \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \] 其中R是3x3的旋转矩阵，p是3x1的位置矢量，0是3x1的零向量。齐次变换矩阵可以方便地进行刚体平移和旋转的组合，同时保持计算的简单性。 总结来说，理解机器人运动学中的位姿描述和齐次变换是设计和控制机器人系统的基础。通过这些数学工具，我们可以精确地描述和预测机器人手臂在空间中的运动，从而实现对物体的精确操纵。