PLSR：解决线性回归的降维与回归问题

偏最小二乘法回归（Partial Least Squares Regression, PLSR）是一种统计方法，用于解决在高维数据集（特征数n远大于样例数m）中进行预测或关联分析的问题，尤其是在特征之间存在高度相关性的情况下。最小二乘法在传统上遇到的主要困难在于当样本数量不足以支持所有特征的线性关系时，导致模型求解矩阵（如X'X，其中X是特征矩阵）不可逆，从而无法找到唯一解。 为解决这一问题，PLSR结合了主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）的概念。首先，通过PCA对原始数据集进行降维，通过找到样本协方差矩阵的前r个最重要的主成分（即特征向量），将数据从原始n维空间映射到一个低维r维子空间。这个过程的结果是新的样本矩阵X'，其秩为r，确保了X'X矩阵是可逆的，从而使得最小二乘法得以应用。 在PCA的表述中，矩阵P包含了X的协方差矩阵的特征向量，而矩阵T则是X在新坐标系中的投影，它是正交的。这意味着新空间中的变量是独立的，且线性无关，这有助于减少噪音和多重共线性的影响。通过这样的降维和变换，PLSR能够有效地提取样本和目标变量之间的潜在关系，即使在特征之间存在复杂的相关结构。 总结来说，PLSR是通过PCA的降维和正交变换，结合最小二乘法的思想，提供了一种在高维、多相关特征数据中进行回归的有效工具。它在许多领域，如化学计量学、生物信息学和金融分析中广泛应用，尤其适合于数据压缩和模式识别。与传统的最小二乘法相比，PLSR具有更强的稳健性和解释性，能够发现并利用数据中的非线性关系。