MATLAB实现数值积分：复合求积与牛顿-柯特斯公式

"复合求积公式及MATLAB实现-计算方法第8章" 在数值积分领域，复合求积公式是一种提高积分精度的有效方法，尤其适用于处理大区间积分问题。这种方法基于将积分区间[a, b]划分为n个等长的子区间，每个子区间用低阶求积公式进行积分，然后将所有子区间的结果相加得到整体的近似积分值。例如，复合矩形公式就是一种常见的复合求积公式，它通过在每个子区间上取一个特定点的函数值来近似该子区间的积分。 数值积分的基本思想源于牛顿-莱布尼茨公式，但当被积函数无法找到初等函数形式的原函数时，就需要借助数值积分方法。MATLAB 提供了计算积分的符号法，使用 `int` 函数可以方便地进行定积分和不定积分的计算。例如，要计算 `sin(x)` 在 [0, π/3] 的积分，可以先定义符号变量 `syms x` 和函数 `f = sin(x)`，然后调用 `s = int(f, x, 0, pi/3)`，得到结果后再使用 `vpa(s, 4)` 转换为指定精度的小数。 MATLAB 中的 `int` 函数不仅支持对单个变量的积分，还支持对函数向量或矩阵的积分。在处理更复杂的积分问题时，如带有多个变量的积分，可以分别对每个变量进行积分，例如上面提到的例子里，对 `t^2 * exp(-3*t*x)` 进行两次积分，首先对变量 `t` 积分，再对变量 `x` 积分。 复合求积公式包括了复合梯形公式、复合辛普森公式等，它们通过在每个子区间上应用不同阶的求积公式来提高精度。例如，复合梯形公式是在每个子区间上应用梯形法则，而复合辛普森公式则使用辛普森法则。这些公式通过增加子区间的数量，可以达到较高的精确度，同时，MATLAB 提供的 `quad` 函数系列可以方便地实现这些复合求积公式。 在实际应用中，数值积分广泛用于那些无法解析积分或者积分过程过于复杂的情况，比如由实验数据得到的曲线拟合、物理模型的模拟等。通过MATLAB等工具，我们可以快速有效地进行数值积分，从而解决各种工程和科研中的积分问题。