本资料主要介绍了Logistic回归参数估计以及最优化方法,包括线性回归、广义线性回归、梯度下降、牛顿法和拟牛顿法等概念,同时探讨了参数学习算法和非参数学习算法的区别。
首先,线性回归是一种预测模型,用于研究因变量和一个或多个自变量之间的线性关系。在基本形式中,线性回归模型可以表示为 y = ax + b,其中y是目标变量,a是斜率,b是截距。当有多个自变量时,模型变为 y = θTx,T表示自变量的矩阵,θ是参数向量。
对于多变量情形,线性回归可以扩展到包含多个特征,例如 y = θ1x1 + θ2x2 + ... + θnxn + θ0,其中θ1至θn对应于每个特征的权重,θ0是偏置项。最小二乘法是最常用的线性回归优化方法,其目标是通过最小化误差平方和来找到最佳的参数估计。
梯度下降是求解优化问题的常用算法,特别是在机器学习中。它通过沿着梯度的负方向更新参数来逐步减小损失函数,直到达到局部最优或全局最优。梯度下降有批处理和随机两种形式,批处理梯度下降每次更新基于所有样本的梯度,而随机梯度下降则仅使用一个样本的梯度进行更新,这通常在大数据集上更快。
Logistic回归是线性回归的扩展,用于分类问题。它引入了Logistic函数(Sigmoid函数),将线性组合映射到(0,1)之间,形成概率预测。Logistic函数的导数有助于在训练过程中进行参数更新,以最大化对数似然函数。Logistic回归参数估计通常通过最大似然估计进行,通过迭代优化对数似然函数来寻找最佳参数。
在Logistic回归中,对数似然函数是根据模型的概率分布定义的,它反映了模型参数对数据产生的概率。通过最大化这个函数,我们可以找到使模型最适应数据的参数值。参数的迭代过程通常采用梯度上升法,因为对数似然函数在参数正确估计时为正值,因此我们沿着梯度上升的方向调整参数。
此外,资料还提到了局部加权线性回归(LWR),这是一种非参数学习算法,它在预测时更重视与测试点距离近的训练样本。权重设置通常依赖于带宽参数τ,τ越大,近邻的影响越大。
参数算法和非参数学习算法的主要区别在于是否预先设定模型的复杂度。参数算法如线性回归和Logistic回归,假设模型结构固定,参数数量有限;而非参数算法如LWR,不设固定的模型结构,而是根据数据自适应地构建模型。
这份资料深入浅出地讲解了线性回归和Logistic回归的基础理论,以及最优化方法,对于理解这些基本概念和算法具有很高的参考价值。